前面的文章对线性回归做了一个小结，文章在这： 线性回归原理小结。里面对线程回归的正则化也做了一个初步的介绍。提到了线程回归的L2正则化-Ridge回归，以及线程回归的L1正则化-Lasso回归。但是对于Lasso回归的解法没有提及，本文是对该文的补充和扩展。以下都用矩阵法表示，如果对于矩阵分析不熟悉，推荐学习张贤达的《矩阵分析与应用》。

1. 回顾线性回归　

　　　　首先我们简要回归下线性回归的一般形式： 

　　　　hθ(X)=Xθ

　　　　需要极小化的损失函数是： 

　　　　J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)

　　　　如果用梯度下降法求解，则每一轮θ迭代的表达式是： 

　　　　θ=θ−αXT(Xθ−Y)

　　　　其中α为步长。

　　　　如果用最小二乘法，则θ的结果是：

　　　　θ=(XTX)−1XTY

2. 回顾Ridge回归

　　　　由于直接套用线性回归可能产生过拟合，我们需要加入正则化项，如果加入的是L2正则化项，就是Ridge回归，有时也翻译为脊回归。它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和一个调节线性回归项和正则化项权重的系数α。损失函数表达式如下：

　　　　J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+12α||θ||22

　　　　其中α为常数系数，需要进行调优。||θ||2为L2范数。

　　　　Ridge回归的解法和一般线性回归大同小异。如果采用梯度下降法，则每一轮θ迭代的表达式是：

　　　　θ=θ−(βXT(Xθ−Y)+αθ)

　　　　其中β为步长。

　　　　如果用最小二乘法，则θ的结果是：

　　　　θ=(XTX+αE)−1XTY 

　　　　其中E为单位矩阵。

模型变量多的缺点呢？有，这就是下面说的Lasso回归。

3. 初识Lasso回归　

　　　　Lasso回归有时也叫做线性回归的L1正则化，和Ridge回归的主要区别就是在正则化项，Ridge回归用的是L2正则化，而Lasso回归用的是L1正则化。Lasso回归的损失函数表达式如下：　

　　　　J(θ)=12n(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+α||θ||1

　　　　其中n为样本个数，α为常数系数，需要进行调优。||θ||1为L1范数。　　　

4. 用坐标轴下降法求解Lasso回归

　　　　坐标轴下降法顾名思义，是沿着坐标轴的方向去下降，这和梯度下降不同。梯度下降是沿着梯度的负方向下降。不过梯度下降和坐标轴下降的共性就都是迭代法，通过启发式的方式一步步迭代求解函数的最小值。

　　　　坐标轴下降法的数学依据主要是这个结论（此处不做证明）：一个可微的凸函数J(θ), 其中θ是nx1的向量，即有n个维度。如果在某一点θ¯，使得J(θ)在每一个坐标轴θ¯i(i = 1,2,...n)上都是最小值，那么J(θ¯i)就是一个全局的最小值。

　　　　于是我们的优化目标就是在θ的n个坐标轴上(或者说向量的方向上)对损失函数做迭代的下降，当所有的坐标轴上的θi(i = 1,2,...n)都达到收敛时，我们的损失函数最小，此时的θ即为我们要求的结果。

　　　　下面我们看看具体的算法过程：

　　　　1. 首先，我们把θ向量随机取一个初值。记为θ(0) ，上面的括号里面的数字代表我们迭代的轮数，当前初始轮数为0.

　　　　2. 对于第k轮的迭代。我们从θ1(k)开始，到θn(k)为止，依次求θi(k)。θi(k)的表达式如下：

　　　　θi(k)∈argmin⏟θiJ(θ1(k),θ2(k),...θi−1(k),θi,θi+1(k−1),...,θn(k−1)) 

　　　　也就是说θi(k)是使J(θ1(k),θ2(k),...θi−1(k),θi,θi+1(k−1),...,θn(k−1))最小化时候的θi的值。此时J(θ)只有θi(k)是变量，其余均为常量，因此最小值容易通过求导求得。

　　　　如果上面这个式子不好理解，我们具体一点，在第k轮，θ向量的n个维度的迭代式如下：

　　　　θ1(k)∈argmin⏟θ1J(θ1,θ2(k−1),...,θn(k−1)) 

　　　　θ2(k)∈argmin⏟θ2J(θ1(k),θ2,θ3(k−1)...,θn(k−1)) 

　　　　...

　　　　θn(k)∈argmin⏟θnJ(θ1(k),θ2(k),...,θn−1(k),θn) 

　　　　3. 检查θ(k)向量和θ(k−1)向量在各个维度上的变化情况，如果在所有维度上变化都足够小，那么θ(k)即为最终结果，否则转入2，继续第k+1轮的迭代。

　　　　以上就是坐标轴下降法的求极值过程，可以和梯度下降做一个比较：

5. 用最小角回归法求解Lasso回归

　　　　第四节介绍了坐标轴下降法求解Lasso回归的方法，此处再介绍另一种常用方法， 最小角回归法(Least Angle Regression， LARS)。

　　　　在介绍最小角回归前，我们先看看两个预备算法，好吧，这个算法真没有那么好讲。

5.1 前向选择（Forward Selection）算法

　　　　第一个预备算法是前向选择（Forward Selection）算法。

　　　　前向选择算法的原理是是一种典型的贪心算法。要解决的问题是对于:

　　　　Y=Xθ这样的线性关系，如何求解系数向量θ的问题。其中Y为 mx1的向量，X为mxn的矩阵，θ为nx1的向量。m为样本数量，n为特征维度。

　　　　把 矩阵X看做n个mx1的向量Xi(i=1,2,...n)，在Y的X变量Xi(i =1,2,...m)中，选择和目标Y最为接近(余弦距离最大)的一个变量Xk，用Xk来逼近Y,得到下式：

　　　　Y¯=Xkθk

　　　　其中： θk=<Xk,Y>||Xk||2

　　　　即：Y¯ 是 Y在 Xk上的投影。那么，可以定义残差(residual):   Yyes=Y−Y¯。由于是投影，所以很容易知道 和Yyes和Xk是正交的。再以Yyes为新的因变量，去掉Xk后，剩下的自变量的集合Xi,i=1,2,3...k−1,k+1,...n}为新的自变量集合，重复刚才投影和残差的操作，直到残差为0，或者所有的自变量都用完了，才停止算法。

　　　　当X只有2维时，例子如上图，和Y最接近的是X1，首先在X1上面投影，残差如上图长虚线。此时X1θ1模拟了Y，θ1模拟了θ(仅仅模拟了一个维度)。接着发现最接近的是X2，此时用残差接着在X2投影，残差如图中短虚线。由于没有其他自变量了，此时X1θ1+X2θ2模拟了Y,对应的模拟了两个维度的θ即为最终结果，此处θ计算设计较多矩阵运算，这里不讨论。

　　　　此算法对每个变量只需要执行一次操作，效率高，速度快。但也容易看出，当自变量不是正交的时候，由于每次都是在做投影，所有算法只能给出一个局部近似解。因此，这个简单的算法太粗糙，还不能直接用于我们的Lasso回归。

 

5.2 前向梯度（Forward Stagewise）算法

　　　　第二个预备算法是前向梯度（Forward Stagewise）算法。

　　　　前向梯度算法和前向选择算法有类似的地方，也是在Y的X变量Xi(i =1,2,...n)中，选择和目标Y最为接近(余弦距离最大)的一个变量Xk，用Xk来逼近Y，但是前向梯度算法不是粗暴的用投影，而是每次在最为接近的自变量Xt的方向移动一小步，然后再看残差Yyes和哪个Xi(i =1,2,...n)最为接近。此时我们也不会把Xt 去除，因为我们只是前进了一小步，有可能下面最接近的自变量还是Xt。如此进行下去，直到残差Yyes减小到足够小，算法停止。

　　　　

　　　　当X只有2维时，例子如上图，和Y最接近的是X1，首先在X1上面走一小段距离，此处ε为一个较小的常量，发现此时的残差还是和\X1最接近。那么接着沿X1走，一直走到发现残差不是和X1最接近，而是和X2最接近，此时残差如上图长虚线。接着沿着X2走一小步，发现残差此时又和X1最接近，那么开始沿着X1走，走完一步后发现残差为0，那么算法停止。此时Y由刚才所有的所有步相加而模拟，对应的算出的系数θ即为最终结果。此处θ计算设计较多矩阵运算，这里不讨论。

　　　　当算法在ε很小的时候，可以很精确的给出最优解，当然，其计算的迭代次数也是大大的增加。和前向选择算法相比，前向梯度算法更加精确，但是更加复杂。

　　　　有没有折中的办法可以综合前向梯度算法和前向选择算法的优点，做一个折中呢？有！这就是终于要出场的最小角回归法。

5.3  最小角回归(Least Angle Regression， LARS)算法

　　　　好吧，最小角回归(Least Angle Regression， LARS)算法终于出场了。最小角回归法对前向梯度算法和前向选择算法做了折中，保留了前向梯度算法一定程度的精确性，同时简化了前向梯度算法一步步迭代的过程。具体算法是这样的：　

　　　　首先，还是找到与因变量Y最接近或者相关度最高的自变量Xk，使用类似于前向梯度算法中的残差计算方法，得到新的目标Yyes，此时不用和前向梯度算法一样小步小步的走。而是直接向前走直到出现一个Xt，使得Xt和Yyes的相关度和Xk与Yyes的相关度是一样的，此时残差Yyes就在Xt和Xk的角平分线方向上，此时我们开始沿着这个残差角平分线走，直到出现第三个特征Xp和Yyes的相关度足够大的时候，即Xp到当前残差Yyes的相关度和θt，θk与Yyes的一样。将其也叫入到Y的逼近特征集合中，并用Y的逼近特征集合的共同角分线，作为新的逼近方向。以此循环，直到Yyes足够的小，或者说所有的变量都已经取完了，算法停止。此时对应的系数θ即为最终结果。

 

　　　　当θ只有2维时，例子如上图，和Y最接近的是X1，首先在X1上面走一段距离，一直到残差在X1和X2的角平分线上，此时沿着角平分线走，直到残差最够小时停止，此时对应的系数β即为最终结果。此处θ计算设计较多矩阵运算，这里不讨论。

　　　　最小角回归法是一个适用于高维数据的回归算法，其主要的优点有：

　　　　1）特别适合于特征维度n 远高于样本数m的情况。

　　　　2）算法的最坏计算复杂度和最小二乘法类似，但是其计算速度几乎和前向选择算法一样

　　　　3）可以产生分段线性结果的完整路径，这在模型的交叉验证中极为有用

　　　　主要的缺点是：

　　　　由于LARS的迭代方向是根据目标的残差而定，所以该算法对样本的噪声极为敏感。

6. 总结

　　　　Lasso回归是在ridge回归的基础上发展起来的，如果模型的特征非常多，需要压缩，那么Lasso回归是很好的选择。一般的情况下，普通的线性回归模型就够了。

　　　　另外，本文对最小角回归法怎么求具体的θ参数值没有提及，仅仅涉及了原理，如果对具体的算计推导有兴趣，可以参考Bradley Efron的论文《Least Angle Regression》，网上很容易找到。 　　　　

 

（欢迎转载，转载请注明出处。欢迎沟通交流： [email protected]） 

from:https://www.cnblogs.com/pinard/p/6018889.html