线性代数

这一部分主要是对机器学习和深度学习用到的线性代数知识的总结，包括线性变换的物理意义与几何意义，直观的理解线性变换，以及特征值分解与奇异值分解的物理意义、几何意义，从信息的角度理解他们，最后，用线性代数实现PCA(从方差最大化角度)

线性变换

线性变换

变换是向量的的运动，变换让向量从一个地方（对应输入向量），运动到了另一个地方（对应输出向量）。

我们说将变换作用于某个空间，意思是将该变换应用于空间中的每一个向量。

空间中的向量可以用一些规则分布的点来表示。

下面是变换前的样子，

下面是变换后的样子。

变换后，空间中的点（即向量）运动到了其他的位置上。

二维空间变换中，等间距的平行网格可以更好地展示变换的性质。（下图是变换前后的等距线在同一坐标平面上的表示）

即线性变换是：

• 变换前后，所有的直线仍然是直线
• 变换前后，原点保持不变

换句话说，线性变换是原点不变，并使网络线保持平行且等距分布的变换。

线性变换的描述

以平面直接坐标系为例，假定我们有一个向量 v=[−1 2]。我们可以将它看成是 2 个基向量 i, j 的线性组合。线性组合的系数分别对应向量的 2 个分量。

在某个线性变换的作用下，i, j 以及 v 都运动到了新的位置。

线性变换前后网络线保持平行且等距分布，这一性质有一个重要的推论：线性变换后的 v 是变换后的 i 和 j 的线性组合，并且线性组合的系数和变换前一样（仍然是 -1 和 2）

即，线性变换前

i=[1 0],j =[0 1]，则v =−1 [1 0]+2 [0 1]=[−1 2]

假定，经过某个线性变换后之后

i=[−1 2],j =[3 0]，则v =−1 [1 −2]+2 [3 0]=[5 2]

所以，我们只要知道线性变换之后，i, j 的位置（坐标），就可以计算出任意一个向量经过同样的线性变换之后的位置（坐标）。

这意味着，对于一个线性变换，我们只需要跟踪基向量在变换前后的变化，就可以掌握整个空间（即全部向量）的变化。我们将线性变换后的基向量坐标按列组合起来，可以拼接成一个矩阵。线性变换的全部信息便都包含在这个矩阵当中了。

给定一个 2×2 的矩阵 [a c b d] 以及某个向量 [x y]。

矩阵对应着某个线性变换，它的 2 列 [a c] 和 [b d] 分别表示 2 个基向量 [1 0] 和 [0 1] 经过线性变换之后的坐标。

那么，向量 [x y] 经过该线性变换之后，其新坐标的计算方法如下：

将向量 [x y] 与矩阵 A相乘得到向量 b，即 Ax⃗ =b⃗ 。所以，矩阵相乘的意义是对向量做变换，即向量的运动。

常见的线性变换

对于线性变换，我们只需要跟踪原来的基向量在线性变换后的位置（坐标），然后把它们按列拼成一个矩阵，这个矩阵就是相应的线性变换矩阵。

旋转变换：

原来的 2 个基向量 [1 0] 和 [0 1] ，逆时针旋转90 度之后，变成了 [0 1] 和 [−1 0] ，把它们拼成 一个矩阵.这便是逆时针旋转 90 度对应的线性变换矩阵。

剪切变换:

投影变换：

常见的矩阵与变换

1. 正交矩阵：将一组正交基旋转到另一组正交基，所以，对向量做旋转变换
2. 实对称矩阵：对特征向量做且只做拉伸剪切变换

总之，线性变换是操纵空间的一种手段。线性变换保持原点不动，网格线平行且等距分布。只需要几个数字（变换后基向量的坐标）就可以清晰地描述一个线性变换。将变换后基向量的坐标按列拼接成一个矩阵。这个矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言。线性变换作用于一个向量，对应于用线性变换矩阵左乘该向量。

特征值分解

信息角度—-主成分分析

1. 数据离散性越大，代表数据在所投影的维度上具有越高的区分度，这个区分度就是信息量
2. 所以选取正确的坐标轴，然后根据各个维度上的数据方差大小，决定保留哪些维度的数据，这样的做法就是主成分分析的核心思想。
3. 特征值对应的特征向量就是理想中想取得正确的坐标轴，而特征值就等于数据在旋转之后的坐标上对应维度上的方差。
4. 在数据挖掘中，就会直接用特征值来描述对应特征向量方向上包含的信息量，而某一特征值除以所有特征值的和的值就为：该特征向量的方差贡献率（方差贡献率代表了该维度下蕴含的信息量的比例）。

奇异值分解SVD

1. 正交矩阵 正交矩阵的行（列）向量都是两两正交的单位向量，正交矩阵对应的变换为正交变换，它有两种表现：旋转和反射。正交矩阵将标准正交基映射为标准正交基。

2. EVD

   1. 比如将x用A的所有特征向量表示为
   2. 通过第一个变换就可以把x表示为[a1 a2 … am]’：
   3. 在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩
   4. 最后一个变换就是U对拉伸或压缩后的向量做变换，由于U和U’是互为逆矩阵，所以U变换是U’变换的逆变换。

3.SVD

1. A=UDV’，U和V是两组正交单位向量,D是对角阵，表示奇异值，它表示我们找到了U 和V这样两组基，A矩阵的作用是将一个向量从V这组正交基向量的空间旋转到U这组正交基向量空间，并对每个方向进行了一定的缩放，缩放因子就是各个奇异值。如果V维度比U大，则表示还进行了投影。
   
2. 特征值分解和奇异值分解都是给一个矩阵(线性变换)找一组特殊的基，特征值分解找到了特征向量这组基，在这组基下该线性变换只有缩放效果。而奇异值分解则是找到另一组基，这组基下线性变换的旋转、缩放、投影三种功能独立地展示出来了。
3. 信息角度：奇异值往往对应着矩阵中隐含的重要信息，且重要性和奇异值大小相关。每个矩阵都可以表示为一系列秩为1的”小矩阵”之和，奇异值衡量这些小矩阵的对于矩阵的权重。

4. 物理意义

   1. SVD提供了一种非常便捷的矩阵分解方式，能够发现数据中十分有意思的潜在模式。
   2. 主成分分析就是对数据的协方差矩阵进行了类似的分解（特征值分解），但这种分解只适用于对称的矩阵，而 SVD 则是对任意大小和形状的矩阵都成立。

   3. 

      • 我们可以看出矩阵的秩是3，也就是主要信息都包含在三个列向量里面
      • 我们对矩阵进行奇异值分解以后，得到奇异值分别是σ1 = 14.72 σ2 = 5.22 σ3 = 3.31，矩阵A就可以表示成A=u1σ1v1T+u2σ2v2T+u3σ3v3Tvi$A=u_1{\sigma }_1{v_1}^T+u_2{\sigma }_2{v_2}^T+u_3{\sigma }_3{v_3}^{T}vi$具有15个元素，ui具有25个元素，σi对应不同的奇异值。如上图所示，我们就可以用123个元素来表示具有375个元素的图像数据了。

   4.实例：
   如下所示，将图像转换为矩阵输入，分别对rgb三个通道求SVD再合并，效果如下

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范数

1. 范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。

2. 对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；

3. 对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

4. 常见的范数：

   向量范数

   1-范数：

   ，即向量元素绝对值之和

   2-范数：

   ，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方

   -范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值

   -范数：

   ，即所有向量元素绝对值中的最小值

   p-范数：
   ，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂

   矩阵范数

   1-范数：
   ， 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

   2-范数：，为的最大特征值。

   -范数：

   ，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值

   F-范数：

   ，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方

从方差最大化角度理解PCA

PCA常见的解释包括：方差最大化以及平方误差最小化，而方差最大化就用到了线性代数的相关知识。

在信号分析理论中，我们知道，方差较大的信息是我们需要的信息，而方差较小的信息则是由噪声引起的，我们希望使信噪比越大越好，所以，我们可以舍去噪声引起的信息。

1. 我们希望投影后投影值尽可能分散，而这种分散程度，可以用数学上的方差来表述。PCA即寻找一个n维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大。

2. 降维问题的优化目标：将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），其目标是选择K个单位（模为1）正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0（因为我们已经预先对数据进行标准化，即减去均值以及方差归一化），而字段的方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的K个方差）。

3. 协方差矩阵：设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设C=XX’/m， 则C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个字段的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j两个字段的协方差。

4. 优化目标变成了寻找一个矩阵P，满足PCP’是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件。

5. 易知，P是C的前k个特征向量组成的矩阵，Y=PX则为降维后矩阵。

6. 实例

   实例

   • 假设我们的数据有两个随机变量，分别各取五个值，我们用PCA方法将这组二维数据其降到一维。

   (−1−2−10002101)$\left(\begin{array}{ccccc}-1& -1& 0& 2& 0\\ -2& 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$

   因为这个矩阵的每行已经是零均值，这里我们直接求协方差矩阵：
   C=15(−1−2−10002101)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜−1−1020−20011⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=(65454565)$C=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccccc}-1& -1& 0& 2& 0\\ -2& 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -1& 0\\ 0& 0\\ 2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{6}{5}& \frac{4}{5}\\ \frac{4}{5}& \frac{6}{5}\end{array}\right)$
   然后求其特征值和特征向量,求解后特征值为：

   λ1=2,λ2=2/5

   其对应的特征向量分别是：

因此我们的矩阵P是：

最后我们用P的第一行乘以数据矩阵，就得到了降维后的表示：

Y=(1/2‾√1/2‾√)(−1−2−10002101)=(−3/2‾√−1/2‾√03/2‾√−1/2‾√)$Y=\left(\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}-1& -1& 0& 2& 0\\ -2& 0& 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}-3/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}& 0& 3/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\end{array}\right)$

降维投影结果如下图：

参考资料

1. http://m.blog.csdn.net/fuming2021118535/article/details/51339881
2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/31724181
3. http://m.blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513
4. https://www.zhihu.com/question/19666954/answer/54788626
5. https://www.zhihu.com/question/22237507
6. http://blog.csdn.net/shijing_0214/article/details/51757564
7. http://blog.codinglabs.org/articles/pca-tutorial.html