LOG高斯-拉普拉斯算子

LOG算子：是高斯和拉普拉斯的双结合，即集平滑和边沿于一身的算子模型！注意这个模型跟前面的一个滤波器很相似，就是各向异性滤波器！只不过是各向异性滤波器是高斯一阶导函数，而LOG可以看做是二阶导函数！这两个模型来源最初都是因为求导导致模板对噪声干扰敏感性比较强！

1、拉普拉斯算子的出发点

在图像中，边缘可以看做是位于一阶导数较大的像素处，因此，我们可以求图像的一阶导数来确定图像的边缘，像sobel算子等一系列算子都是基于这个思想的。如下图a表示函数在边沿的时候关系，求导得b图，可知边沿可就是函数的极值点，对应二阶导数为0处，如图c的二阶导图。

  

(a)                                                                                                          (b)

(c)

2、高斯-拉普拉斯算法

该算法就是直接对我们的高斯模型求二阶导数

 

高斯卷积函数定义为：

而原始图像f(x,y) 与高斯卷积定义为：

因为：

所以Laplacian of Gaussian(LOG)可以通过先对高斯函数进行偏导操作，然后进行卷积求解。公式表示为：

和

因此，我们可以LOG核函数定义为：

 

高斯二阶导如下图的绿色线，蓝色线是高斯一阶导数，红色则是高斯函数。

 

Laplacian of Gaussian计算可以利用高斯差分来近似，其中差分是由两个高斯滤波与不同变量的卷积结果逼近求得：

 

该函数逼近是因为发现高斯二阶导和原高斯函数对sigma参数求导之后函数模型的关系如上述的公式，然后约等于右边的导数表达式（严格的话需要加上极限的）！模型逼近如下：好处是可以提高算法的效率减少计算量

                                                                     

 

从两个平平滑算子的差分得出的是二阶边缘检测，反直观。近似计算可能如下图所示。图中一维空间，不同变量的两个高斯分布相减形成一个一维算子

 

注意最后计算的模板算子的权重和应该保证为1，不是1的可以进行归一化！确保在平塘区不会检测到边沿！

 

参考文章：

1、http://blog.csdn.net/songzitea/article/details/12842825

2、http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/18619893

3、Laplacian of Gaussian (LoG)：http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gradient/node9.html

4、Laplacian/Laplacian of Gaussian：http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm