信号与系统笔记
序列
序列的表示5e 4
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图形:
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函数解析式:
y[k]=f1[k]+f2[k]+f3[k]+⋯fn[k]
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列表表示:
y[n]=0,1,2,3ˉ,4,5,6,7,8,9
其中取有箭头(下箭头)的为序列的起点(即n=0点)
序列的变换
- 序列的平移
用表达式的写法就是:
y[n]=x[n−n0]
- 序列的反转
用表达式的写法就是:
y[n]=x[−n]
- 序列的尺度变换
压缩时:
y[n]=x[2n]
展宽时:
y[n]=x[n/2]
实际上,书本上在这里举例的时候用了模拟信号,因为在数字序列中,这个操作又名为:抽取和内插.
序列运算
1.2.3. 翻转,位移,尺度变换见前
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相加和相乘
y[k]=f1[k]+f2[k]+f3[k]+⋯fn[k]
y[k]=f1[k]⋅f2[k]⋅f3[k]⋯fn[k]
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差分
a.前向差分:
△f[k]=f[k+1]−f[k]
b.后向差分
▽f[k]=f[k]−f[k−1]
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求和
y[k]=n=−∞∑kf[n]
举个比较重要的例子:
u[k]=n=−∞∑kδ[n]
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卷积和
连续上:
y(t)=f(t)∗h(t)=∫∞∞f(τ)h(t−τ)dτ
离散上:
y[n]=k=−∞∑+∞x[k]h[n−k]
计算的步骤:
1.翻转2. 平移3. 相乘4. 累加
- 相关
连续上:
ϕxy(t)=∫−∞∞x(t+τ)y(τ)dτ
离散上:
rxy[n]=−∞∑∞x[n]y[n+m]
举个较为简单的例子:周期函数的自相关函数
rx(m+N)=N1n=0∑Nx(n)x(n−m−N)=N1n=0∑Nx(n)x(n−m)=rx(m)
几个较为重要的序列
单位脉冲序列
δ[n]={0,n̸=01,n=0
单位阶跃序列
u[n]={0,n<01,n≥0
上述两种序列的关系:
单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次差分:
δ[n]=u[n]−u[n−1]
单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和函数:
u[n]=m=−∞∑nδ[m]
值得一提的是,可以使用移位脉冲序列来描述任意一个序列中的一位:
x[n]=k=−∞∑+∞x[k]δ[n−k]
当然,这也称为单位脉冲序列的筛选特性,当然,这也可以看成…
矩形序列
RN[k]=u[k]−u[k−n0]
DTFT(Discrete-time Fourier Transform)
定义
DTFT:
X(ejΩ)=n=−∞∑+∞x[n]e−jΩn
iDTFT:
x[n]=2π1∫2πX(ejω)ejΩdΩ
举个例子:考虑单边信号x[n]=anu[n]的DTFT:
X(ejΩ)=n=−∞∑+∞anu[n]e−jΩn=0∑+∞(ae−jΩ)n=1−ae−jΩ1
最后一步由底数小于1的等比数列求和得到
性质
较多,故不作证明
- 周期性
X(ej(Ω+2π))=X(ejΩ)
- 线性性质
ax1[n]+bx2[n]⟷FaX1(ejΩ)+bX2(ejΩ)
- 时移与频移
x[n−n0]⟷Fe−jΩn0X(ejΩ)
e−jΩ0nx[n]⟷FX(ej(Ω−Ω0)
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共轭与共轭对称性
因为上课强调过,并且给了作业,就在这里详述一下
如果有
x[n]⟷FX(ejΩ)
则序列的共轭有:
x∗[n]⟷FX∗(e−jΩ)
在这个情况下,如果x[n]是一个实序列,则虚部不存在,则有:
X(ejΩ)=X∗(e−jΩ)
所以很容易就可以得到,他的DTFT的实部是偶函数,而他的虚部是奇函数.
同理易得,他的模是偶函数,他的相角是奇函数
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差分与累加
x[n]−x[n−1]⟷F(1−e−jΩ)X(ejΩ)
实际上,考虑信号:y[n]=∑m=−∞nx[m]
他的傅里叶变换,可以用上面的式子得出:
y[n]=m=−∞∑nx[m]=1−e−jΩ1X(ejΩ)+πX(ej0)−∞∑+∞δ(Ω−2πk)
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时间反转
x[−n]⟷FX(e−jΩ)
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时域扩展
x(k)[n]⟷FX(ejkΩ)
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频域微分
nx[n]⟷FjdΩX(ejΩ)
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帕斯瓦尔定理
n=−∞∑+∞∣x[n]∣2=2π1∫2π∣X(ejΩ)∣2dΩ
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卷积性质相乘性质
对于$ y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k] $有:
Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)
当考虑y[n]=x1[n]x2[n]时,有:
Y(ejΩ)=2π1∫2πX1(ejθ)X2(ej(Ω−θ))dθ
- 对偶性
当然这是一个很重要的性质,但是这里更多的是理解,看书吧
Z变换
定义
X(z)≜n=−∞∑+∞x[n]z−n
x[n]=2πj1∮X(z)zn−1dz
性质
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线性性质
ax1[n]+bx2[n]⟷ZaX1(z)+bX2(z)
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时移性质
x[n−n0]⟷Zz−n0X(z)
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z域尺度变换
z0nx[n]⟷ZX(z0z)
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时间反转
x[−n]⟷ZX(z1)
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时域扩展
x(k)[n]⟷ZX(zk)
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共轭
如果有
x[n]⟷ZX(z)
则序列的共轭有:
x∗[n]⟷ZX∗(z∗)
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卷积性质
x1[n]∗x2[n]⟷ZX1(z)X2(z)
8. 频域微分
nx[n]⟷Z−zdzX(z)
9. 初值定理
当n<0时,x[n]=0,则
x[0]=z→∞limX(z)
10. z变换本身的性质(时间问题,只做简述)
a.稳定性:极点在单位圆里面
b.因果性:系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点
系统
在上面的基础上,这里就只做简述吧
系统的特性
针对线性移不变系统,其中线性有:
- 其次性
- 叠加性
移不动指的是,输入移一位,输出也跟着移一位,不会有什么妖魔鬼怪
- 稳定性
∣h(t)∣<∞
- 因果性
h(t)=0,t<0
相应用z变换判断的在上头
系统的表示
- 框图
- 差分方程
- 系统单位脉冲响应h[k]
- 系统频率响应H(jω)
- 系统函数H(z)
相应的转换关系:
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差分方程to系统函数:
已知差分方程:
i=0∑naiy[k−i]=j=0∑mbjf[k−j]
对其求z变换得:
i=0∑naiz−iYf(z)=j=0∑mbjz−iF[z]
所以系统函数为:
H(z)=F(z)Yf(z)=sumi=0naiz−i∑j=0mbjz−j
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系统函数to系统单位脉冲响应h[k]
H(z)=F(z)Yf(z)=Z{h[k]}
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系统函数to系统频率响应
对因果系统,且系统稳定时:
H(ejΩ)=H(z)∣z=ejΩ=∣H(ejΩ)∣ejφ(Ω)
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系统函数to框图
- 先将系统函数化成零极点形式
- 按照零点系数和阶数画前馈通路
- 按照极点系数和阶数画后馈通路
已知未完善地方
- z变换本身的性质写得不多
- 没介绍模拟的奇异信号及其性质
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