信号与系统笔记

文章目录

• 信号与系统笔记
• @[toc]
• 序列
• 序列的表示5e 4
• 序列的变换
• 序列运算
• 几个较为重要的序列
• 单位脉冲序列
• 单位阶跃序列
• 矩形序列
• DTFT(Discrete-time Fourier Transform)
• 定义
• 性质
• Z变换
• 定义
• 性质
• 系统
• 系统的特性
• 系统的表示
• 已知未完善地方

序列

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序列的表示5e 4

1. 图形:
   

2. 函数解析式:
   $y[k] = f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+ \cdots f_n[k]$y[k]=f1​[k]+f2​[k]+f3​[k]+⋯fn​[k]

3. 列表表示:
   $y[n] = {0,1,2,\bar{3},4,5,6,7,8,9}$y[n]=0,1,2,3ˉ,4,5,6,7,8,9
   其中取有箭头(下箭头)的为序列的起点(即n=0点)

序列的变换

1. 序列的平移
   

用表达式的写法就是:
$y[n] = x[n-n_0]$y[n]=x[n−n0​]

2. 序列的反转
   

用表达式的写法就是:
$y[n] = x[-n]$y[n]=x[−n]

3. 序列的尺度变换
   

压缩时:
$y[n] = x[2n]$y[n]=x[2n]
展宽时:
$y[n] = x[n/2]$y[n]=x[n/2]

实际上,书本上在这里举例的时候用了模拟信号,因为在数字序列中,这个操作又名为:抽取和内插.

序列运算

1.2.3. 翻转,位移,尺度变换见前

4. 相加和相乘
   $y[k] = f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+ \cdots f_n[k]$y[k]=f1​[k]+f2​[k]+f3​[k]+⋯fn​[k]
   $y[k] = f_1[k]\cdot f_2[k]\cdot f_3[k] \cdots f_n[k]$y[k]=f1​[k]⋅f2​[k]⋅f3​[k]⋯fn​[k]

5. 差分
   a.前向差分:
   $\triangle f[k] = f[k+1] -f[k]$△f[k]=f[k+1]−f[k]
   b.后向差分
   $\triangledown f[k] = f[k] - f[k-1]$▽f[k]=f[k]−f[k−1]

6. 求和
   $y[k] = \sum^{k}_{n=-\infty }f[n]$y[k]=n=−∞∑k​f[n]
   举个比较重要的例子:
   $u[k] = \sum^{k}_{n=-\infty }\delta[n]$u[k]=n=−∞∑k​δ[n]

7. 卷积和

连续上:
$y(t) = f(t)\ast h(t) = \int^{\infty}_{\infty}f(\tau)h(t-\tau) d\tau$y(t)=f(t)∗h(t)=∫∞∞​f(τ)h(t−τ)dτ
离散上:
$y[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k]$y[n]=k=−∞∑+∞​x[k]h[n−k]
计算的步骤:
1.翻转2. 平移3. 相乘4. 累加

8. 相关
   连续上:
   $\phi_{xy}(t) = \int ^{\infty}_{-\infty} x(t+\tau) y(\tau)d \tau$ϕxy​(t)=∫−∞∞​x(t+τ)y(τ)dτ
   离散上:
   $r_{xy}[n] = \sum ^{\infty}_{-\infty} x[n] y[n + m]$rxy​[n]=−∞∑∞​x[n]y[n+m]
   举个较为简单的例子:周期函数的自相关函数
   $r_x(m+N) = \frac1N\sum ^{N}_{n=0} x(n) x(n-m-N) = \frac1N\sum ^{N}_{n=0} x(n) x(n-m) = r_x(m)$rx​(m+N)=N1​n=0∑N​x(n)x(n−m−N)=N1​n=0∑N​x(n)x(n−m)=rx​(m)

几个较为重要的序列

单位脉冲序列

$\delta[n] = \begin{cases} 0, \quad n\neq 0 \\1,\quad n=0 \end{cases}$δ[n]={0,n̸​=01,n=0​

单位阶跃序列

$u[n] = \begin{cases} 0, \quad n&lt; 0 \\1,\quad n\geq 0 \end{cases}$u[n]={0,n<01,n≥0​

上述两种序列的关系:
单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次差分:
$\delta [n] = u[n] -u[n-1]$δ[n]=u[n]−u[n−1]

单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和函数:
$u [n] = \sum^n_{m=-\infty}\delta[m]$u[n]=m=−∞∑n​δ[m]

值得一提的是,可以使用移位脉冲序列来描述任意一个序列中的一位:
$x[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]\delta[n-k]$x[n]=k=−∞∑+∞​x[k]δ[n−k]
当然,这也称为单位脉冲序列的筛选特性,当然,这也可以看成…

矩形序列

$R_N[k] = u[k] -u[k-n_0]$RN​[k]=u[k]−u[k−n0​]

DTFT(Discrete-time Fourier Transform)

定义

DTFT:
$X(e^{j\Omega}) = \sum^{+\infty}_{n=- \infty} x[n] e^{-j\Omega n}$X(ejΩ)=n=−∞∑+∞​x[n]e−jΩn
iDTFT:
$x[n] = \frac1{2\pi} \int_{2\pi } X(e^{j\omega})e^{j\Omega } d\Omega$x[n]=2π1​∫2π​X(ejω)ejΩdΩ

举个例子:考虑单边信号$x[n] = a^n u[n]$x[n]=anu[n]的DTFT:
$X(e^{j\Omega}) = \sum^{+\infty}_{n=- \infty} a^n u[n] e^{-j\Omega n} = \sum^{+\infty}_0 (ae^{-j\Omega})^n = \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}$X(ejΩ)=n=−∞∑+∞​anu[n]e−jΩn=0∑+∞​(ae−jΩ)n=1−ae−jΩ1​

最后一步由底数小于1的等比数列求和得到

性质

较多,故不作证明

1. 周期性
   $X(e^{j(\Omega+2\pi)}) = X(e^{j\Omega})$X(ej(Ω+2π))=X(ejΩ)
2. 线性性质
   $ax_1[n] +bx_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} aX_1(e^{j\Omega})+bX_2(e^{j\Omega})$ax1​[n]+bx2​[n]⟷F​aX1​(ejΩ)+bX2​(ejΩ)
3. 时移与频移
   $x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega})$x[n−n0​]⟷F​e−jΩn0​X(ejΩ)
   $e^{-j\Omega_0 n}x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j(\Omega-\Omega_0})$e−jΩ0​nx[n]⟷F​X(ej(Ω−Ω0​)
4. 共轭与共轭对称性
   因为上课强调过,并且给了作业,就在这里详述一下

如果有
$x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\Omega})$x[n]⟷F​X(ejΩ)
则序列的共轭有:
$x^{\ast}[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X^{\ast}(e^{-j\Omega})$x∗[n]⟷F​X∗(e−jΩ)
在这个情况下,如果x[n]是一个实序列,则虚部不存在,则有:
$X(e^{j\Omega}) = X^{\ast}(e^{-j\Omega})$X(ejΩ)=X∗(e−jΩ)
所以很容易就可以得到,他的DTFT的实部是偶函数,而他的虚部是奇函数.
同理易得,他的模是偶函数,他的相角是奇函数

5. 差分与累加
   $x[n] -x[n-1] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} (1 - e^{-j\Omega})X(e^{j\Omega})$x[n]−x[n−1]⟷F​(1−e−jΩ)X(ejΩ)
   实际上,考虑信号:$y[n] = \sum^n_{m=-\infty}x[m]$y[n]=∑m=−∞n​x[m]
   他的傅里叶变换,可以用上面的式子得出:
   $y[n] = \sum^n_{m=-\infty}x[m] = \frac1{1 - e^{-j\Omega}}X(e^{j\Omega}) + \pi X(e^{j0})\sum^{+\infty}_{-\infty}\delta(\Omega-2\pi k)$y[n]=m=−∞∑n​x[m]=1−e−jΩ1​X(ejΩ)+πX(ej0)−∞∑+∞​δ(Ω−2πk)

6. 时间反转
   $x[-n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{-j\Omega})$x[−n]⟷F​X(e−jΩ)

7. 时域扩展
   $x_{(k)}[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{jk\Omega})$x(k)​[n]⟷F​X(ejkΩ)

8. 频域微分
   $nx[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\frac{X(e^{j\Omega})}{d\Omega}$nx[n]⟷F​jdΩX(ejΩ)​

9. 帕斯瓦尔定理
   $\sum^{+\infty}_{n=-\infty} |x[n]|^2 = \frac1{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\Omega})|^2d\Omega$n=−∞∑+∞​∣x[n]∣2=2π1​∫2π​∣X(ejΩ)∣2dΩ

10. 卷积性质相乘性质

对于$ y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k] $有:
$Y(e^{j\Omega}) = X(e^{j\Omega}) H(e^{j\Omega})$Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)

当考虑$y[n] = x_1[n]x_2[n]$y[n]=x1​[n]x2​[n]时,有:
$Y(e^{j\Omega}) = \frac1{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\Omega-\theta)})d\theta$Y(ejΩ)=2π1​∫2π​X1​(ejθ)X2​(ej(Ω−θ))dθ

11. 对偶性
    当然这是一个很重要的性质,但是这里更多的是理解,看书吧

Z变换

定义

$X(z) \triangleq \sum^{+\infty}_{n=- \infty} x[n] z^{-n}$X(z)≜n=−∞∑+∞​x[n]z−n
$x[n] = \frac1{2\pi j} \oint X(z)z^{n-1} dz$x[n]=2πj1​∮X(z)zn−1dz

性质

1. 线性性质
   $ax_1[n] +bx_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z)$ax1​[n]+bx2​[n]⟷Z​aX1​(z)+bX2​(z)

2. 时移性质
   $x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z)$x[n−n0​]⟷Z​z−n0​X(z)

3. z域尺度变换
   $z_0^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(\frac z{z_0})$z0n​x[n]⟷Z​X(z0​z​)

4. 时间反转
   $x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(\frac1z)$x[−n]⟷Z​X(z1​)

5. 时域扩展
   $x_{(k)}[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z^k)$x(k)​[n]⟷Z​X(zk)

6. 共轭
   如果有
   $x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)$x[n]⟷Z​X(z)
   则序列的共轭有:
   $x^{\ast}[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X^{\ast}(z^{\ast})$x∗[n]⟷Z​X∗(z∗)

7. 卷积性质

$x_1[n]\ast x_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X_1(z)X_2(z)$x1​[n]∗x2​[n]⟷Z​X1​(z)X2​(z)
8. 频域微分
$nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} -z\frac{X(z)}{dz}$nx[n]⟷Z​−zdzX(z)​
9. 初值定理
当n<0时,x[n]=0,则
$x[0] = \lim_{z\rightarrow \infty} X(z)$x[0]=z→∞lim​X(z)
10. z变换本身的性质(时间问题,只做简述)
a.稳定性:极点在单位圆里面
b.因果性:系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点

系统

在上面的基础上,这里就只做简述吧

系统的特性

针对线性移不变系统,其中线性有:

1. 其次性
2. 叠加性
   移不动指的是,输入移一位,输出也跟着移一位,不会有什么妖魔鬼怪
3. 稳定性
   $|h(t)|&lt;\infty$∣h(t)∣<∞
4. 因果性
   $h(t)=0 ,t&lt;0$h(t)=0,t<0
   相应用z变换判断的在上头

系统的表示

1. 框图
2. 差分方程
3. 系统单位脉冲响应h[k]
4. 系统频率响应$H(j\omega)$H(jω)
5. 系统函数H(z)

相应的转换关系:

1. 差分方程to系统函数:
   已知差分方程:
   $\sum^n_{i=0} a_iy[k-i] = \sum_{j=0}^m b_jf[k-j]$i=0∑n​ai​y[k−i]=j=0∑m​bj​f[k−j]
   对其求z变换得:
   $\sum^n_{i=0} a_iz^{-i}Y_f(z)= \sum_{j=0}^m b_j z^{-i} F[z]$i=0∑n​ai​z−iYf​(z)=j=0∑m​bj​z−iF[z]
   所以系统函数为:
   $H(z) = \frac{Y_f(z)}{F(z)}= \frac{\sum_{j=0}^m b_j z^{-j}}{sum^n_{i=0} a_iz^{-i}}$H(z)=F(z)Yf​(z)​=sumi=0n​ai​z−i∑j=0m​bj​z−j​

2. 系统函数to系统单位脉冲响应h[k]
   $H(z) = \frac{Y_f(z)}{F(z)} =\mathcal{Z}\{ h[k] \}$H(z)=F(z)Yf​(z)​=Z{h[k]}

3. 系统函数to系统频率响应
   对因果系统,且系统稳定时:
   $H(e^{j\Omega}) = H(z)|_{z=e^{j\Omega}} = |H(e^{j\Omega}) | e^{j\varphi (\Omega)}$H(ejΩ)=H(z)∣z=ejΩ​=∣H(ejΩ)∣ejφ(Ω)

4. 系统函数to框图

   1. 先将系统函数化成零极点形式
   2. 按照零点系数和阶数画前馈通路
   3. 按照极点系数和阶数画后馈通路

已知未完善地方

1. z变换本身的性质写得不多
2. 没介绍模拟的奇异信号及其性质