相比于前两篇 $Blog$Blog 中关于卷积物理意义以及性质的讨论，这篇 $Blog$Blog 重点归纳卷积计算的技巧和方法。以连续时间信号的卷积计算为主，因为离散情况下很简单，慢慢滑动一个个对应着来就OK。因为连续时间信号的卷积涉及积分，对上下限的考量需要对卷积定义比较清晰才行

典型例题来袭

在着手开始分析第一个例子之前，我们回顾一下连续信号的卷积公式：$y(t) = \int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t-τ)dτ$y(t)=∫−∞+∞​x(τ)h(t−τ)dτ
其中，$x(τ)$x(τ) 和 $h(t-τ)$h(t−τ) 代表两者的重叠部分，具体的值是两个重叠部分函数值的乘积。 $τ$τ 应该是两者重叠部分的时间范围

其实，这个表达式是一个囊括了不同情况的综合表达式，很多时候，我们计算的卷积往往是分段函数，这时，积分的上下限就不能是简单的 $+∞$+∞ 和 $-∞$−∞了

【例题一】：求以下两个信号的卷积

$Step 1$Step1：先画出 $x(τ)$x(τ) 和 $h(-τ)$h(−τ)：

还记得我们在关于卷积的第一篇 $Blog$Blog 里面谈到的吗：$h(t - τ)$h(t−τ) 代表的是对 $h(-τ)$h(−τ) 原点的移动，，具体把 $h(-τ)$h(−τ) 的原点移动到什么地方呢？就是看 $x(τ)$x(τ) 图像中，我们要求的 $τ = t$τ=t 的位置

$Step2$Step2：我们要大致观察以下 $t$t 取什么值的时候二者有重叠部分，取什么值的时候没有重叠部分
从本题，很明显，在 $t < 0$t<0，以及 $t > 3T$t>3T 的时候，二者没有重叠，因此也有：$y(t)=0$y(t)=0

而在 $0 < t < T$0<t<T；$T < t < 2T$T<t<2T 以及 $2T < t < 3T$2T<t<3T 的部分都会有重叠，因此我们分别讨论。

（1）在 $0 < t < T$0<t<T 时，

黄色区域是二者重叠部分，不过我们重点关系的，是这个重叠部分的范围，显然，是：$[0, t]$[0,t]
因此，$τ$τ 的范围就是：$0 < τ < t$0<τ<t，在这个范围下，那条斜线就是 $h(t - τ)$h(t−τ)，横线就是 $x(τ)$x(τ)。那么我们可以知道：在此范围下，$x(τ) = 1$x(τ)=1、$h(t-τ) = -(τ - t)$h(t−τ)=−(τ−t)（因为 $h(t-τ)$h(t−τ) 在本题中始终是一条斜率为 -1 ，始终过点 (t, 0) 的直线）

因此，我们就带入公式，得：$y(t) = \int_{0}^{t}-(τ - t)dτ = \frac{1}{2}t^2$y(t)=∫0t​−(τ−t)dτ=21​t2

至此，我们完成了第一个重叠区间的卷积积分的计算

对于 $T < t < 2T$T<t<2T 时，如下图所示：

黄色区域是重叠部分，重叠部分的范围是 $[0, T]$[0,T]，因此，$0 < τ < T$0<τ<T，重叠区域两函数表达式和第一种情况一样，因此，我们有：$y(t) = \int_{0}^{T}-(τ - t)dτ = Tt - \frac{1}{2}T^2$y(t)=∫0T​−(τ−t)dτ=Tt−21​T2

后面的情况，处理方法一样，这里就不赘述啦。最终的结果和 $y(t)$y(t) 的图像如下：

始终贯穿这一方法，卷积积分的计算也就不那么困难了！

好啦！这篇 $Blog$Blog 到这里就结束辽！和之前的两篇 $Blog$Blog 结合在一起，就成了 “卷积三剑客”。希望这三篇 $Blog$Blog 能对今后卷积的学习带来帮助！

“卷积笔记三剑客地址”：

【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界 1【详细整理+个人理解】

【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界 2【系统基本性质和卷积的关系】

【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界3 【技巧方法篇】  连续时间信号的卷积计算技巧