离散傅里叶变换
任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
下面的图很好的说明了时域(或空间域关系：
图 时域和频域的关系
图中的矩形方波(最前面)可以由后面几个不同频率的正弦波叠加而成。从侧面看过去就得到这些正弦波在频域中的表示。在频域中一个正弦波可以由振幅和相位来表示。(途中频域内只显示了不同正弦的振幅)。
1、二维离散傅里叶变换公式
图像傅里叶变换是将空间域(图像)转换到频域。傅里叶变换公式如下:
前面说过傅里叶本质是任何函数都可以有正弦叠加。只看上面的公式找不出与正弦波之间的关系。这里还需要用到欧拉公式将后面的指数部分做一个转换就可以看到傅里叶变换与正弦的关系。欧拉公式如下:
傅里叶变换后的结果需要使用幅度谱 + 相位谱的形式表示。但在实际的图像处理过程中，仅使用幅度图像，因为幅度图像基本包含了原图像的所有几何信息。
2、基图像
一般傅里叶处理整列为方形阵列，则有 M=N。有公式可以看出。0<u<N-1 0 < v < N-1. 给定一个u值和v值就确定一个频率。所以图像f(x,y)由N*N个频率组成。当取特定的(u,v)值时候，遍历所有x和y值，计算指数部分，将结果组成的图像就是一副(u,v)的基图像。基图像表示如下:
3 频域的基本性质
从公式来看，每个F(u,v)项包含了被指数项修正的f(x,y)的所有值。因此除了特殊情况，一般不可建立图像分量和其变换之间的直接联系，然后可以阐述频率分量和空间特征之间的联系。例如，既然频率与变化率直接相关。变化最慢的频率成分(u=0,v=0)对应一幅图像的平均灰度。当从原点位置移开，低频对应图像满变化分量，如房间的墙和地板。随着离开原点越远，较高的频率开始对应图像中的变化越来越快的图像灰度级。这些是物体的边缘区域或灰度变化较快的区域。
以原点为中心，距离原点越远，频率越高。
4 傅里叶变换的物理意义
在说傅里叶变换在图像中的物理意义之前，先说一个图像频率的概念。
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。
5 据平移性做频域中心化
平移性
根据欧拉公式，当x等于pi时候 有：
参考文献: