写在前面：本文主要内容是LDA在机器学习领域的公式推导，仅当作笔记使用。

1. 简介

• LDA（Linear Discriminant Analysis）是一种经典的线性学习方法，该算法属于监督算法。

• 给定训练集，设法将训练集投影到低维空间上，从而达到了降维的效果。
• 投影的结果要使同类样例的投影点尽可能接近、异类的投影点尽可能远离（同类相近、异类远离原则）。
• 下图给出了二维训练集投影到一维直线的效果图（图片来自《机器学习》周志华）

2. 算法内容（二分类）

• 给定数据集,其中。并定义：
  • 第i类（1或0）示例的集合为
  • 第i类示例集合的均值向量为
  • 第i类示例集合的协方差矩阵
  • 投影目标直线为
  • 综上可以得到
    • 两类样本中心在上的投影分别为和
    • 两类样本协方差分别为和
    • 直线为一维空间，则上述4项皆为实数
• 考虑同类相近、异类远离的原则，则只尽量同时需要满足1.同类样本协方差尽可能小；2.异类样本中心点尽可能远离。
  • 协方差尽可能小即
    • 
  • 中心店尽可能远离即
    • 
  • 二者结合起来考虑，令
    •  (此处分子为欧几里德范式)
  • 定义两个矩阵：
    • 类内散度矩阵  
      • ​​​​​​​
    • 类间散度矩阵
      • ​​​​​​​
    • 则J可以重写为
      • ​​​​​​​
    • 此时J为LDA最大化的目标，亦被称为“广义瑞利熵”。
• 接下来针对J需要确定。
  • 观察J的分子分母能够发现，最终的解与长度无关，只和其方向有关系，即仅与有关。令,可将J式可以转换为：                          
    •    其中c为常数
  • 利用拉格朗日乘子法，则上式可以进行推导：
    •  其中为拉格朗日乘子。
    •  对求偏导，并令该式为0可得
    •   其中就是J的极值解。由于非奇异，可将该式两边同乘得到
    •  , 此时问题转化为求矩阵的特征值问题。利用的定义，可以化为
    • ，其中为一标量，因此总是在向量方向。因此上式可以写做
    • ，从而可得
    • ，在寻找最佳投影方向的同时可以忽略的比例因子 。可得
    • 

3. 多类情况

• 多分类情况与二分类情况类似，其中与上节中的意义相同，重新定义了所有样本的均值由于存在多个类别，类间散度矩阵和类内散度矩阵的计算存在一定差异。假设有t类，t为实数。
• 类内散度矩阵（投影前）：
  • ，其中的表示第i类里的样本点相对于该类中心点的散列程度。并有。
• 类间散度矩阵（投影后：
  • ，其中本身是值为的权重，但由于J式本身对倍数不敏感，因此取。
• 考虑到二类情况时投影目标是一条直线，而上升到多类情况后投影目标是多维的（可以认为是若干条直线）。J式的推导结论与上节中一样，此处求得的特征值越大，代表其对分类的判别能力越强，因此可以取特征值最大的前若干个特征向量构成矩阵。

多分类python代码实现：https://github.com/olddaddy/Linear-Discriminant-Analysis.git

如有错误望指正，谢谢。