五大常用算法(一) - 分治算法
分治算法
基本思想
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题类型一致，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
分治是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
使用场景
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
实例
可使用分治法求解的一些经典问题：
二分搜索；合并排序、快速排序；大整数乘法、Strassen矩阵乘法；棋盘覆盖；线性时间选择；最接近点对问题；循环赛日程表；汉诺塔
二分查找
/*基于递归的二分查找*/
public int rank(Key key,int lo,int hi)
{
if(hi<lo)
return lo;
int mid = lo+(hi-lo)/2;
int cmp = key.compareTo(keys[mid]);
if(cmp > 0)
return rank(key, mid+1, hi);
else if(cmp < 0)
return rank(key, lo, mid-1);
else return mid;
}
汉诺塔
在汉诺塔游戏中，有三个分别命名为A、B、C的塔座，几个大小各不相同，从小到大依次编号得圆盘。最初，所有得圆盘都在A塔座上，其中最大得圆盘在最下面，然后是第二大，以此类推。
游戏的目的是 将所有的圆盘从塔座A移动到塔座B，塔座C用来放置临时圆盘，游戏的规则如下：
1、一次只能移动一个圆盘
2、任何时候都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘上面.
3、除了第二条限制，任何塔座的最上面的圆盘都可以移动到其他塔座上
汉诺塔问题解决思想：
在解决汉诺塔问题时，事实上我们不是最关心圆盘1开始应该挪到哪个塔座上，而是关心最下面的圆盘4。 当然，我们不能直接移动圆盘4，但是圆盘4最终将从塔座A移动到塔座B。按照游戏规则，在移动圆盘4之前的情况一定如下图。
四个圆盘从A移动到B，就要考虑如何将前三个圆盘从A移动到C，然后将圆盘4从A移动到B，最后将前三个圆盘从C移动到B。
但是上面的步骤可以重复利用！将问题规模缩小：
三个圆盘从A移动到C，就要考虑如何将前两个圆盘从A移动到B，然后将圆盘3从A移动到C，最后将前两个圆盘从B移动到C。
持续简化这个问题，最终我们将只需要处理一个圆盘从一个塔座移动到另一个塔座的问题。
public class Moved {
private static int count = 1;
public static void main(String[] args) {
moved(4, "第一根柱子", "第二根柱子", "第三根柱子");
}
/**
* @param i 圆盘数量
* @param a 圆盘初始所在塔座
* @param b 圆盘将要移动到的塔座
* @param c 辅助圆盘移动的塔座
*/
public static void moved(int i, String a, String b, String c){
if(i == 1){
disPaly(1, a, b);
}else{
moved(i-1, a, c, b); //将i-1根圆盘由A移动到C
disPaly(i, a, b); //将圆盘i由A移动到B
moved(i-1, c, b, a); //将i-1根圆盘由C移动到B
}
}
public static void disPaly(int i,String a,String b){
System.out.println("第"+count+"步：移动第"+i+"个塔从"+a+"到"+b);
count++;
}
}
运行结果：
第1步：移动第1个塔从第一根柱子到第三根柱子
第2步：移动第2个塔从第一根柱子到第二根柱子
第3步：移动第1个塔从第三根柱子到第二根柱子
第4步：移动第3个塔从第一根柱子到第三根柱子
第5步：移动第1个塔从第二根柱子到第一根柱子
第6步：移动第2个塔从第二根柱子到第三根柱子
第7步：移动第1个塔从第一根柱子到第三根柱子
第8步：移动第4个塔从第一根柱子到第二根柱子
第9步：移动第1个塔从第三根柱子到第二根柱子
第10步：移动第2个塔从第三根柱子到第一根柱子
第11步：移动第1个塔从第二根柱子到第一根柱子
第12步：移动第3个塔从第三根柱子到第二根柱子
第13步：移动第1个塔从第一根柱子到第三根柱子
第14步：移动第2个塔从第一根柱子到第二根柱子
第15步：移动第1个塔从第三根柱子到第二根柱子
论文参考分治算法