霍夫变换详解
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我觉得OpenCV里面介绍霍夫变换那一章讲得很有启发性。如果所有的图形都可以用数学表示出来,那么所有的图形都可以用霍夫变换检测。下面是我看到的一篇非常好的霍夫变换应用于检测直线的文章,存在这里。
前言
今天群里有人问到一个图像的问题,但本质上是一个基本最小二乘问题,涉及到霍夫变换(Hough Transform),用到了就顺便总结一下。
内容为自己的学习记录,其中多有参考他人,最后一并给出链接。
一、霍夫变换(Hough)
A-基本原理
一条直线可由两个点A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)确定(笛卡尔坐标)
另一方面,也可以写成关于(k,q)的函数表达式(霍夫空间):
对应的变换可以通过图形直观表示:
变换后的空间成为霍夫空间。即:笛卡尔坐标系中一条直线,对应霍夫空间的一个点。
反过来同样成立(霍夫空间的一条直线,对应笛卡尔坐标系的一个点):
再来看看A、B两个点,对应霍夫空间的情形:
一步步来,再看一下三个点共线的情况:
可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线,这些点在霍夫空间对应的直线交于一点:这也是必然,共线只有一种取值可能。
如果不止一条直线呢?再看看多个点的情况(有两条直线):
其实(3,2)与(4,1)也可以组成直线,只不过它有两个点确定,而图中A、B两点是由三条直线汇成,这也是霍夫变换的后处理的基本方式:选择由尽可能多直线汇成的点。
看看,霍夫空间:选择由三条交汇直线确定的点(中间图),对应的笛卡尔坐标系的直线(右图)。
到这里问题似乎解决了,已经完成了霍夫变换的求解,但是如果像下图这种情况呢?
k=∞是不方便表示的,而且q怎么取值呢,这样不是办法。因此考虑将笛卡尔坐标系换为:极坐标表示。
在极坐标系下,其实是一样的:极坐标的点→霍夫空间的直线,只不过霍夫空间不再是[k,q]的参数,而是的参数,给出对比图:
是不是就一目了然了?
给出霍夫变换的算法步骤:
MATLAB对应code:
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其实本质上就是:
交点怎么求解呢?细化成坐标形式,取整后将交点对应的坐标进行累加,最后找到数值最大的点就是求解的,也就求解出了直线。
B-理论应用
这里给出MATLAB自带的一个应用,主要是对一幅图像进行直线检验,原图像为:
首先是对其进行边缘检测:
边缘检测后并二值化,就可以通过找非零点的坐标确定数据点。从而对数据点进行霍夫变换。对应映射到霍夫空间的结果为:
找出其中数值较大的一些点,通常可以给定一个阈值,Threshold一下。
这就完成了霍夫变换的整个过程。这个时候求解出来了其实就是多条直线的斜率k以及截距q,通常会根据直线的特性进一步判断,从而将直线变为线段:
不过这一步更类似后处理,其实已经不是霍夫变换本身的特性了。
给出对应的MATLAB代码:
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对比自带的Hough与编写的Hough:
效果还是比较接近的。
看到*上的一个答案,觉得很好,收藏一下: