数字图像处理第四章笔记

这一章实在是太难了，好多没看懂（＞人＜；）

一、傅里叶级数基本概念

1、概念

任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦之和的形式，每个正弦项和或余弦项都乘以不同的系数（傅里叶级数）。

2、冲激及取样特性

冲激：分布或广义函数，如果把t看作时间，一个冲激可以看作幅度无限，持续时间为0，具有单位面积的尖峰信号。

（1）连续变量t

一个冲激的取样特性（可以看作t0=0的取样特性）：

在任意点t0的取样特性：

（2）离散变量x

一个冲激的取样特性（可以看作x0=0的取样特性）：

在任意点x0的取样特性：


（3）冲激串
冲激串：无限多个离散的周期冲激单元▲T之和

3、连续变量函数的傅里叶变换

傅里叶变换仅是μ的函数：

一个函数可以由其变换来恢复:

傅里叶变换包含复数项，通常处理变换的幅值（实数），称|F(μ)|为傅里叶谱或频谱：

周期冲激串的傅里叶变换：

4、卷积

连续变量t的两个连续函数f(t)和h(t)的卷积：卷积由★表示，‘-’表示翻转

卷积的傅里叶变换：

t所在的域称为空间域，μ所在的域称为频率域，则两个函数卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域的乘积。


注：
图像的空间域是指图像平面所在的二维平面，对于空间域的图像处理主要是zhi对图像灰度值的改变，其位置不变。
图像的频率域是图像的灰度值随位置变化的空间频率，以频谱表示信息分布特征，傅立叶变换能把遥感图像从空间域变换到只包含不同频率信息的频率域，原图像上的灰度突变部位、图像结构复杂的区域、图像细节及干扰噪声等信息集中在高频区，，而原图像上灰度变化平缓部位的信息集中在低频区。

二、取样和取样函数的傅里叶变换

1、取样

2、低通滤波

通过频率范围低端的频率，消除所有较高的频率。其中H(μ)就是低通滤波器。

3、由取样后的数据重建函数

一组样本集合来重建函数实际上可以减少样本间的内插。

三、傅里叶变换对

1、一维连续函数傅里叶变换对

f(t)为非周期函数。
正变换

f(x)表示原函数，F(u)表示变换之后的函数。u为频率域变量。
反变换

2、一维离散傅里叶变换对（DFT）

一维函数f(x) （其中x = 0,1,2,……，M-1）。

在频域下变换F(u)也是离散的，其定义域仍为0~M-1 ，因为F(u)是周期性的，周期为M。

1/M的系数也可以位于正变换前。更一般的情况是保证正变换和反变换前的系数乘积为1/M即可。

3、二维连续傅里叶变换对

4、二维离散傅里叶变换对

四、二维离散傅里叶变换的性质

1、周期性

二维傅里叶变换及其反变换在u方向和v方向是无限周期的。

其中k1和k2是整数。

2、傅里叶谱和相角

二维DFT通常是复函数，可用极坐标形式表示：

傅里叶谱（频谱）

频谱是图像增强中最关心的主要对象，频域下每一点(u,v)的|F(u,v)|可用来表示该频率的正弦（余弦）平面波在叠加中所占的比例。频谱直接反应频率信息，是频率域滤波的一个主要依据。
相位角

相位角表面上看并不那么直观，但它隐含着实部与虚部之间的某种比例关系，因此与图像结构息息相关。
功率谱（谱密度）

R和I分别为F(u,v)的实部和虚部。

3、对称性

实函数f(x,y)的傅里叶变换是共轭对称的。

虚函数f(x,y)的傅里叶变换是共轭反对称的。

傅里叶谱关于原点偶对称。

相位角关于原点奇对称。

4、均值

二维傅里叶正变换如下

若将系数1/MN放在正变换前，则：

故：

又因为

所以，F(0,0)，即原点处的傅里叶变换值为原图像f(x,y)的平均灰度级。

未完待续