Dijkstra算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

算法思想

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

例题及解题思路

poj 2387
题目大意：有N个点，给出从a点到b点的距离，当然a和b是互相可以抵达的，问从1到n的最短距离

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define max 0x3f3f3f3f;

int mp[max][max];
int dis[i];
int vis[i];
int m,n;

void init(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            mp[i][j]=max;
    }
}

void dij(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=mp[1][i];
    vis[1]=1;
    int k,minn;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        minn=max;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]<minn){
                minn=dis[j];
                k=j;
            }
        }
        vis[k]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(dis[j]>dis[k]+mp[k][j])
                dis[j]=dis[k]+mp[k][j];
        }
    }
}
int main(){

    scanf("%d%d",&m,&n);
    int x,y,z;
    for(i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        mp[x][y]=z;
        mp[y][x]=z;
    }
    init(n);
    dij(n);
    cout<<dis[n]<<endl;
    return 0;
}

Floyd算法

解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

算法思想

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

核心代码：

for(k=0;k<n;k++){
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<n;j++){
		if(A[i][j]>(A[i][j]+A[k][j])){
			A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
			path[i][j]=k;
			}
		}
}