2014南京航天航空大学820自动控制原理第七题

(1)
对原始进行 Z Z Z变换
Z [ y ( k + 1 ) ] = z Y ( z ) − z y ( 0 ) = z Y ( z ) Z[y(k+1)]=zY(z)-zy(0)=zY(z) Z[y(k+1)]=zY(z)−zy(0)=zY(z)
离散系统的传递函数模型为
Y ( z ) U ( z ) = 1.5 z + 0.5 \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{1.5}{z+0.5} U(z)Y(z)​=z+0.51.5​
(2)
系统输出为
Y ( z ) = 1.5 z ( z + 0.5 ) ( z − 1 ) Y(z)=\frac{1.5z}{(z+0.5)(z-1)} Y(z)=(z+0.5)(z−1)1.5z​
留数法
c ( n T ) = Res [ C ( z ) z n − 1 ] z → 1 + Res [ C ( z ) z n − 1 ] z → − 0.5 = 1 − ( − 1 ) n − 1 0. 5 n \begin{aligned} c(nT)&=\text{Res}[C(z)z^{n-1}]_{z\rarr1}+\text{Res}[C(z)z^{n-1}]_{z\rarr-0.5}\\ &=1-(-1)^{n-1}0.5^n \end{aligned} c(nT)​=Res[C(z)zn−1]z→1​+Res[C(z)zn−1]z→−0.5​=1−(−1)n−10.5n​
动态序列前5项为
c ( 0 ) = 0 , c ( 1 ) = 1.5 , c ( 2 ) = 0.75 , c ( 3 ) = 1.125 , c ( 4 ) = 0.9375 c(0)=0,\quad c(1)=1.5,\quad c(2)=0.75,\quad c(3)=1.125,\quad c(4)=0.9375 c(0)=0,c(1)=1.5,c(2)=0.75,c(3)=1.125,c(4)=0.9375
(3)
该系统的在 Z Z Z平面的负实轴上有一个极点，由
z = e T s = e σ + j ω T ∣ z ∣ = e σ T ∠ z = ω T z=e^{Ts}=e^{\sigma+j\omega T} \\ |z|=e^{\sigma T} \\ ∠z=\omega T z=eTs=eσ+jωT∣z∣=eσT∠z=ωT
解得
s = − 0.693 s=-0.693 s=−0.693
在 S S S平面存在一对共轭复数极点 s 1 , 2 = − 0.693 ± j π s_{1,2}=-0.693\pm j\pi s1,2​=−0.693±jπ，所以该一阶离散系统的输出呈现欠阻尼振荡响应特性。