Optimization Method -- Gradient Descent with Momentum Gradient Descent （转）
Gradient Descent
在機器學習的過程中，常需要將 Cost Function 的值減小，通常用 Gradient Descent 來做最佳化的方法來達成。但是用 Gradient Descent 有其缺點，例如，很容易卡在 Local Minimum。
Gradient Descent 的公式如下：
關於Gradient Descent的公式解說，請參考：Optimization Method -- Gradient Descent & AdaGrad
Getting Stuck in Local Minimum
舉個例子，如果 Cost Function 為 ，有
Local Minimum ，畫出來的圖形如下：
當執行 Gradient Descent 的時候，則會卡在 Local Minimum，如下圖：
解決卡在 Local Minimum 的方法，可加入 Momentum ，使它在 Gradient 等於零的時候，還可繼續前進。
Gradient Descent with Momentum
Momentum 的概念如下： 當一顆球從斜坡上滾到平地時，球在平地仍會持續滾動，因為球具有動量，也就是說，它的速度跟上一個時間點的速度有關。
模擬 Momentum的方式很簡單，即是把上一個時間點用 Gradient 得出的變化量也考慮進去。
Gradient Descent with Momentum 的公式如下：
其中 為 時間點，修正 值所用的變化量，而 則是 時間點的修正量，而 則是用來控制在 時間點中的 具有上個時間點的 值的比例。 好比說，在 時間點時，球的速度會跟 時間點有關。 而 ，則是 時間點算出之 Gradient 乘上 Learning Rate 後，在 中所占的比例。
舉前述例子，若起始參數為 ，畫出目標函數，藍點為起始點 的位置：
用 Gradient Descent with Momentum 來更新 的值，如下：
化減後得：
設初始化值 ，參數 ，代入 ，則：
更新圖上的藍點，如下圖：
再往下走一步， 的值如下：
更新圖上的藍點，如下圖：
在以上兩步中，可發現 的值逐漸變大。由於一開始 都是零，它會跟前一個時間點的值有關，所以看起來就好像是球從斜坡上滾下來時，慢慢加速，而在球經過
Local Minimum時，也會慢慢減速，不會直接卡在 Local Minimum 。整個過程如下圖：
動畫版：
Implementation
再來進入實作的部分
首先，開啟新的檔案 momentum.py 並貼上以下程式碼：
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def func(x,y):
return (0.3*y**3+y**2+0.3*x**3+x**2)
def func_grad(x,y):
return (0.9*x**2+2*x, 0.9*y**2+2*y )
def plot_func(xt,yt,c='r'):
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d',
elev=7., azim=-175)
X, Y = np.meshgrid(np.arange(-5, 5, 0.25), np.arange(-5, 5, 0.25))
Z = func(X,Y)
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1,
cmap=cm.coolwarm, linewidth=0.1, alpha=0.3)
ax.set_zlim(-20, 100)
ax.scatter(xt, yt, func(xt,yt),c=c, marker='o' )
ax.set_title("x=%.5f, y=%.5f, f(x,y)=%.5f"%(xt,yt,func(xt,yt)))
plt.show()
plt.close()
def run_grad():
xt = 3
yt = 3
eta = 0.1
plot_func(xt,yt,'r')
for i in range(20):
gxt, gyt = func_grad(xt,yt)
xt = xt - eta * gxt
yt = yt - eta * gyt
if xt < -5 or yt < -5 or xt > 5 or yt > 5:
break
plot_func(xt,yt,'r')
def run_momentum():
xt = 3
yt = 3
eta = 0.2
beta = 0.9
plot_func(xt,yt,'b')
delta_x = 0
delta_y = 0
for i in range(20):
gxt, gyt = func_grad(xt,yt)
delta_x = beta * delta_x + (1-beta)*eta*gxt
delta_y = beta * delta_y + (1-beta)*eta*gyt
xt = xt - delta_x
yt = yt - delta_y
if xt < -5 or yt < -5 or xt > 5 or yt > 5:
break
plot_func(xt,yt,'b')
其中， func(x,y) 為目標函數，func_grad(x,y) 為目標函數的 gradient ，而 plot_func(xt,yt,c='r') 可畫出目標函數的曲面， run_grad() 用來執行 Gradient
Descent ， run_momentum() 用來執行 Gradient
Descent with Momentum 。 xt 和 yt 對應到前例的 ，而 eta 為 Learning
Rate 。 for
i in range(20) 表示最多會跑20個迴圈，而 if
xt < -5 or yt < -5 or xt > 5 or yt > 5 表示，如果 xt 和 yt 超出邊界，則會先結束迴圈。
到 python console 執行：
>>> import momentum
執行 Gradient Descent ，指令如下：
>>> momentum.run_grad()
則程式會逐一畫出整個過程：
以此類推
執行 Gradient Descent with Momentum ，指令如下：
>>> momentum.run_momentum()
則程式會逐一畫出整個過程：
以此類推