格林公式中对偏微分的积分
格林公式计算二重积分的例子:
∬
D
e
−
y
2
d
x
d
y
∬
D
∂
x
e
−
y
2
∂
x
−
∂
0
∂
y
d
x
d
y
=
∮
L
x
e
−
y
2
d
y
(
化
为
了
第
二
类
曲
线
积
分
,
可
化
为
参
数
形
式
转
为
定
积
分
∫
f
(
t
)
d
t
)
\iint_D e^{-y^2}dxdy\\ \iint_D\frac{ \partial xe^{-y^2}}{\partial x}-\frac{ \partial 0}{\partial y} dxdy\\ =\oint_L xe^{-y^2}dy(化为了第二类曲线积分,可化为参数形式转为定积分\int f(t)dt)
∬De−y2dxdy∬D∂x∂xe−y2−∂y∂0dxdy=∮Lxe−y2dy(化为了第二类曲线积分,可化为参数形式转为定积分∫f(t)dt)
=
∮
L
x
e
−
y
2
d
y
=
∫
y
=
0
x
e
−
y
2
d
y
+
∫
x
=
1
,
y
∈
[
0
,
1
]
x
e
−
y
2
d
y
+
∫
y
=
1
x
e
−
y
2
d
y
−
∫
x
=
0
,
y
∈
[
0
,
1
]
x
e
−
y
2
d
y
=
0
+
∫
0
1
e
−
y
2
d
y
+
0
+
0
=\oint_L xe^{-y^2}dy\\ =\int_{y=0} xe^{-y^2}dy+\int_{x=1,y\in[0,1]} xe^{-y^2}dy+\int_{y=1} xe^{-y^2}dy-\int_{x=0,y\in[0,1]} xe^{-y^2}dy\\ =0+\int_0^1 e^{-y^2}dy+0+0
=∮Lxe−y2dy=∫y=0xe−y2dy+∫x=1,y∈[0,1]xe−y2dy+∫y=1xe−y2dy−∫x=0,y∈[0,1]xe−y2dy=0+∫01e−y2dy+0+0
全微分方程的例子
求解: 2 x y + 1 y d x + y − x y 2 d y = 0 解 : 由 题 意 ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x , 则 次 方 程 为 全 微 分 方 程 则 P = ∂ U ∂ x ⇒ U = x 2 + x y + c ( y ) Q = ∂ U ∂ y = − x y 2 + c ′ ( y ) c ( y ) = l n ∣ y ∣ + 1 , U = x 2 + x y + c ( y ) \frac{2xy+1}{y}dx+\frac{y-x}{y^2}dy=0\\ 解:由题意\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},则次方程为全微分方程\\ 则P=\frac{\partial U}{\partial x} \Rightarrow U=x^2+\frac{x}{y}+c(y)\\ Q=\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}+c'(y)\\ c(y)=ln|y|+1,U=x^2+\frac{x}{y}+c(y) y2xy+1dx+y2y−xdy=0解:由题意∂y∂P=∂x∂Q,则次方程为全微分方程则P=∂x∂U⇒U=x2+yx+c(y)Q=∂y∂U=−y2x+c′(y)c(y)=ln∣y∣+1,U=x2+yx+c(y)