1.DCNN框架

DCNN以节点的特征矩阵以及节点的概率转移矩阵（可以认为是结构矩阵）为输入，然后以每个节点为中心，将不同的跳（hop）上的节点信息进行聚合，得到前$H$H跳的聚合向量，构成节点的扩散表示$Z_t(i,:,:)\in R^{H\times F}$Zt​(i,:,:)∈RH×F，所有节点的扩散表示组成张量$Z_t\in R^{N_t\times H\times F}$Zt​∈RNt​×H×F。对节点（图）的分类任务就是将扩散表示直接送入全连接网络，通过softmax函数得到各类的分类概率。下图是DCNN的实现节点分类和图分类的流程图。

2.扩散卷积表示

$A_t$At​表示图的邻接矩阵，$P_t$Pt​表示度归一化转移矩阵，$(P_t)_{ij}$(Pt​)ij​表示由节点$i$i转移到$j$j的概率，可以由$A_t$At​计算得到，可以认为是权重矩阵。$A_t$At​矩阵有一个性质：$A_t$At​矩阵的幂级数$A^n_t$Atn​中的一个元素$(A^n_t)_{ij}$(Atn​)ij​，表示节点$i$i到节点$j$j长度为$n$n的游走(英文为$walk$walk)的数量，当不存在这样的游走时，该值为0，之后将该矩阵归一化后，就可以表示长度为$n$n时，节点$i$i转移到$j$j的概率。这种性质对应与公式（1）：
$P^*_{tijk}=P^j_{tik}\tag1$Ptijk∗​=Ptikj​(1)

其中，$P^*_t\in R^{N_t\times H\times N_t}$Pt∗​∈RNt​×H×Nt​表示由$P_t$Pt​组成的幂级数；$i$i表示节点$i$i ；$j$j表示跳(hop)为$j$j，也就是游走的长度为$j$j；$k$k表示节点的第$k$k个特征。从公式（1）可以看出来，$P^*_t$Pt∗​的元素$(P^*_t)_{ijk}$(Pt∗​)ijk​表示：游走长度为$j$j时，节点$i$i转移到节点$k$k的概率。

（1）节点的扩散卷积表示

扩散卷积表示为：
$Z_{tijm}=f(W_{jm}^c\cdot \sum_{l=1}^{N_t}{P^*_{tijl}X_{tlm}})\tag2$Ztijm​=f(Wjmc​⋅l=1∑Nt​​Ptijl∗​Xtlm​)(2)

其中，$m$m表示所有节点的第$m$m个特征，$W_{jm}$Wjm​表示权重，$Z_{tijm}$Ztijm​表示：以节点$i$i为中心，在第$m$m个特征上，游走长度为$j$j的节点信息的聚合值；$\sum_{l=1}^{N_t}{P^*_{tijl}X_{tlm}}$∑l=1Nt​​Ptijl∗​Xtlm​部分的意义是以概率方式对节点$i$i的$j$j跳节点的一个信息聚合,$f$f为非线性**函数。
式（2）的张量表示形式为:
$Z_t=f(W^c\bigodot P^*_tX_t)\tag{3}$Zt​=f(Wc⨀Pt∗​Xt​)(3)

其中，$\bigodot$⨀表示逐元素相乘，$W^c \in R^{H\times F}$Wc∈RH×F，为训练权重；$P^*_tX_t\in R^{N_t\times H\times F}$Pt∗​Xt​∈RNt​×H×F表示每个节点的各个跳$[0,H-1]$[0,H−1]的聚合信息；在计算$W^c\bigodot P^*_tX_t$Wc⨀Pt∗​Xt​，存在广播机制，会将$W^c$Wc复制$N_t$Nt​遍，然后逐元素相乘；$Z_t \in R^{N_t\times H\times F}$Zt​∈RNt​×H×F。

(2)图的扩散卷积表示

图的扩散卷积表示：
$Z_t=f(W^c\bigodot \frac{(1_{N_t})^TP^*_tX_t}{N_t})\tag{4}$Zt​=f(Wc⨀Nt​(1Nt​​)TPt∗​Xt​​)(4)

其中$P^*_tX_t$Pt∗​Xt​的意义不变，$1_{N_t}\in R^{N_t\times 1}$1Nt​​∈RNt​×1表示将各个节点信息$\in R^{H\times F}$∈RH×F聚合的权重；除以$N_t$Nt​得到平均值。$W^c$Wc训练得到的加权权值。

3.分类任务

（1）节点分类

在得到节点的扩散卷积表示$Z_t$Zt​之后，可以直接将$Z_t$Zt​送入全连接层;
$P(Y|X)=softmax(f(W^dZ))\tag5$P(Y∣X)=softmax(f(WdZ))(5)

其中，在送入全连接层之前需要将$Z_t$Zt​展平，变成二维矩阵$Z\in R^{N_t\times (HF)}$Z∈RNt​×(HF)，$W^d\in R^{(HF)\times C}$Wd∈R(HF)×C，$C$C表示分类种数。
论文中表达的公式为$P(Y|X)=softmax(f(W^d\bigodot Z))$P(Y∣X)=softmax(f(Wd⨀Z))应该和公式（5）是一致的。

（2）图分类

图分类与节点分类的原理一致：
在得到图的扩散卷积表示$Z_t$Zt​之后，可以直接将$Z_t$Zt​送入全连接层;
$P(Y|X)=softmax(f(W^dZ))\tag6$P(Y∣X)=softmax(f(WdZ))(6)

其中，在送入全连接层之前需要将$Z_t$Zt​展平，变成一维向量$Z\in R^{(HF\times 1)}$Z∈R(HF×1)，$W^d\in R^{(HF)\times C}$Wd∈R(HF)×C，$C$C表示分类种数。