第2章 空间谱估计基础

2.1引言

空间谱估计——空预处理技术，具有优越的空域参数估计性能，数与阵列信号处理分支，阵列信号处理的基本原理是通过空间阵列接收数据的相位差来确定一个或几个带估计的参数。

2.2 空间谱估计数学模型

空间谱估计：利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。
空间谱估计系统：空间信号入射、空间阵列接收、参数估计；
对应三个空间：目标空间、观察空间、估计空间。

目标空间：由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间；
观察空间：利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号，观察空间是一个多维空间，系统的接收数据是由多个通道组成的，通道是由空间的一个或多个阵元合成的，某特定阵元也可以包含在不同的通道内；
估计空间：利用空间谱估计技术从复杂的观察数据出提取信号的特征参数，相当于对目标空间的一个重构过程。

2.2.1 通常情况下的数学模型

考虑$N$N个远场的窄带信号入射到空间某阵列上，其中阵列天线由$M$M个阵元组成，假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经各自的传输信道送到处理器，处理器接收来自$M$M个通道的数据。
在信号源是窄带的假设下，信号可用如下复包络形式表示：
$\begin{cases} s_i(t)=u_i(t)e^{j(\omega_0t+\varphi(t))}\\ s_i(t-\tau)=u_i(t-\tau)e^{j(\omega_0(t-\tau)+\varphi(t-\tau))}\\ \end{cases}${si​(t)=ui​(t)ej(ω0​t+φ(t))si​(t−τ)=ui​(t−τ)ej(ω0​(t−τ)+φ(t−τ))​
式中$u_i(t)$ui​(t)是接收信号的幅度，$\psi(t)$ψ(t)是接收信号的相位，$\omega_0$ω0​ 是接收信号的频率。在窄带远场信号源的假设下，有
$\begin{cases} u_i(t-\tau)\approx u_i(t)\\ \varphi(t-\tau)\approx \varphi(t)\\ \end{cases}${ui​(t−τ)≈ui​(t)φ(t−τ)≈φ(t)​
​根据上式可得
$s_i(t-\tau)\approx s_i(t)e^{-j\omega_0\tau} ,i=1,2,...,N$si​(t−τ)≈si​(t)e−jω0​τ,i=1,2,...,N

则可以得到第l个阵元接收信号为
$x_l(t)=\sum_{i=1}^Ng_{li}s_i(t-\tau_{li})+n_l(t),l=1,2,...,N$xl​(t)=i=1∑N​gli​si​(t−τli​)+nl​(t),l=1,2,...,N

式中，$g_{li}$gli​为第$l$l个阵元对第$i$i个信号的增益，$n_l(t)$nl​(t)表示第$l$l个阵元在$t$t时刻的噪声，$\tau_{li}$τli​表示第$i$i个信号到达第$l$l个阵元时相对于参考阵元的时延。
将$M$M个阵元在特定是可接收的信号排列成一个列矢量，可得
$\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \vdots\\ x_M(t)\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} g_{11}e^{-j\omega_0\tau_{11}} & g_{12}e^{-j\omega_0\tau_{12}} & \cdots & g_{1N}e^{-j\omega_0\tau_{1N}}\\ g_{21}e^{-j\omega_0\tau_{21}} & g_{22}e^{-j\omega_0\tau_{22}} & \cdots & g_{2N}e^{-j\omega_0\tau_{2N}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ g_{M1}e^{-j\omega_0\tau_{M1}} & g_{M2}e^{-j\omega_0\tau_{M2}} & \cdots & g_{MN}e^{-j\omega_0\tau_{MN}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1(t)\\ s_2(t)\\ \vdots \\ s_N(t)\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} n_1(t)\\ n_2(t)\\ \vdots \\ n_M(t)\\ \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎡​x1​(t)x2​(t)⋮xM​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​g11​e−jω0​τ11​g21​e−jω0​τ21​⋮gM1​e−jω0​τM1​​g12​e−jω0​τ12​g22​e−jω0​τ22​⋮gM2​e−jω0​τM2​​⋯⋯⋯​g1N​e−jω0​τ1N​g2N​e−jω0​τ2N​⋮gMN​e−jω0​τMN​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1​(t)s2​(t)⋮sN​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​n1​(t)n2​(t)⋮nM​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​

在理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的，且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，上式中的增益可以归化为1，在此假设下上式可以简化为
$\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \vdots\\ x_M(t)\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^{-j\omega_0\tau_{11}} & e^{-j\omega_0\tau_{12}} & \cdots & e^{-j\omega_0\tau_{1N}}\\ e^{-j\omega_0\tau_{21}} & e^{-j\omega_0\tau_{22}} & \cdots & e^{-j\omega_0\tau_{2N}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ e^{-j\omega_0\tau_{M1}} & e^{-j\omega_0\tau_{M2}} & \cdots & e^{-j\omega_0\tau_{MN}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1(t)\\ s_2(t)\\ \vdots \\ s_N(t)\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} n_1(t)\\ n_2(t)\\ \vdots \\ n_M(t)\\ \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎡​x1​(t)x2​(t)⋮xM​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​e−jω0​τ11​e−jω0​τ21​⋮e−jω0​τM1​​e−jω0​τ12​e−jω0​τ22​⋮e−jω0​τM2​​⋯⋯⋯​e−jω0​τ1N​e−jω0​τ2N​⋮e−jω0​τMN​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1​(t)s2​(t)⋮sN​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​n1​(t)n2​(t)⋮nM​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​

写成矢量形式如下：
$\pmb{X}(t)=\pmb{A} \pmb{S} (t)+ \pmb{N} (t)$XXX(t)=AAASSS(t)+NNN(t)

式中，$\pmb{X}(t)$XXX(t)为阵列的$M×1$M×1维快排数据矢量，$\pmb{N}(t)$NNN(t)为阵列的$M×1$M×1维噪声数据矢量，$\pmb{S}(t)$SSS(t)为空间信号的$N×1$N×1维矢量，$\pmb{A}$AAA为空间阵列$M×N$M×N维流型矩阵（导向矢量阵），且
$\pmb{A}= \begin{bmatrix} \pmb{a}_1(\omega_0) & \pmb{a}_2(\omega_0) & \cdots & \pmb{a}_N(\omega_0) \end{bmatrix}$AAA=[aaa1​(ω0​)​aaa2​(ω0​)​⋯​aaaN​(ω0​)​]

其中，导向矢量
$\pmb{a}_i(\omega_0)= \begin{bmatrix} e^{-j\omega_0\tau_{1i}}\\ e^{-j\omega_0\tau_{2i}}\\ \vdots \\ e^{-j\omega_0\tau_{Mi}}\\ \end{bmatrix},i=1,2,...,N$aaai​(ω0​)=⎣⎢⎢⎢⎡​e−jω0​τ1i​e−jω0​τ2i​⋮e−jω0​τMi​​⎦⎥⎥⎥⎤​,i=1,2,...,N

式中，$\omega_0=2\pi f=2\pi\frac{c}{\lambda}$ω0​=2πf=2πλc​,$c$c为光速，$\lambda$λ为波长。
若已知阵元间的延迟表达式$\tau$τ，就可以得出特定空间阵列的导向矢量或阵列流型。假设空间任意两个阵元，其中一个为参考阵元（位于原点），另一个阵元的坐标为$(x,y,z)$(x,y,z)。

可推导出两阵元间的波程差为
$\tau=\frac{1}{c}(x\cos{\theta}\cos{\varphi}+y\sin{\theta}\cos{\varphi}+z\sin{\varphi})$τ=c1​(xcosθcosφ+ysinθcosφ+zsinφ)

下面给出实际环境中常用阵列及阵元间的相互延迟表达式：
1.平面阵
设阵元位置为$(x_k,y_k)(k=1,2,...,M)$(xk​,yk​)(k=1,2,...,M)，以原点为参考点，另假设信号入射参数为$(\theta_i,\varphi_i)(i=1,2,...，N)$(θi​,φi​)(i=1,2,...，N)，分别表示方位角与俯仰角，其中方位角表示与$x$x轴的夹角，则有
$\tau_{ki}=\frac{1}{c}(x_k\cos{\theta_i}\cos{\varphi_i}+y_k\sin{\theta_i}\cos{\varphi_i})$τki​=c1​(xk​cosθi​cosφi​+yk​sinθi​cosφi​)

2.线阵
设阵元的位置为$x_k(k=1,2,...,M)$xk​(k=1,2,...,M)，以原点为参考点，另假设信号入射参数为$\theta_i(i=1,2,...,N)$θi​(i=1,2,...,N)，表示方位角，表示与$y$y轴的夹角（即与线阵法线的夹角），则有
$\tau_{ki}=\frac{1}{c}(x_k\sin{\theta_i})$τki​=c1​(xk​sinθi​)

3.均匀圆阵
设以均匀圆阵的圆心为参考点，方位角$\theta_i$θi​表示与$x$x轴的夹角，$r$r为圆的半径，则有
$\tau_{ki}=\frac{r}{c}(\cos{(\frac{2\pi(k-1)}{M}-\theta_i)}\cos{\varphi_i})$τki​=cr​(cos(M2π(k−1)​−θi​)cosφi​)

2.2.2 相干信号源数学模型

当考察多个信号时，这些信号之间可以是不相关的、相关的或相干的。对两个平稳信号$s_i(t)$si​(t)和$s_k(t)$sk​(t)，定义它们的相关系数为
$\rho_{ik}=\frac{E[s_i(t)s_k^*(t)]}{\sqrt{E[|s_i(t)|^2]E[|s_k(t)|^2]}}$ρik​=E[∣si​(t)∣2]E[∣sk​(t)∣2]​E[si​(t)sk∗​(t)]​

由Schwartz不等式可知$|\rho_{ik}|\leq1$∣ρik​∣≤1，因此信号之间的相关性定义如下：
$\begin{cases} \rho_{ik}=0 & s_i(t)，s_k(t)独立\\ 0<|\rho_{ik}|<1 & s_i(t)，s_k(t)相关\\ |\rho_{ik}|=1 & s_i(t)，s_k(t)相干\\ \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​ρik​=00<∣ρik​∣<1∣ρik​∣=1​si​(t)，sk​(t)独立si​(t)，sk​(t)相关si​(t)，sk​(t)相干​

即相干信号源之间种子差一个复常数，假设有$n$n个相干源，即
$s_i(t)=\alpha_is_0(t),i=1,2,...,n$si​(t)=αi​s0​(t),i=1,2,...,n

这里$s_0(t)$s0​(t)称为生成信源，生成了入射到阵列上的$n$n个相干信号源。代入通常数学模型可得想干信号源模型
$\begin{aligned} \pmb{X}(t)&=\pmb{A} \pmb{S} (t)+ \pmb{N} (t)=\pmb{A}\begin{bmatrix} s_1(t)\\ s_2(t)\\ \vdots \\ s_n(t)\\ \end{bmatrix}+ \pmb{N} (t)\\ &=\pmb{A} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_n\\ \end{bmatrix}s_0(t)+N(t)\\ &=\pmb{A}\rho s_0(t)+\pmb{N}(t) \end{aligned}$XXX(t)​=AAASSS(t)+NNN(t)=AAA⎣⎢⎢⎢⎡​s1​(t)s2​(t)⋮sn​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​+NNN(t)=AAA⎣⎢⎢⎢⎡​α1​α2​⋮αn​​⎦⎥⎥⎥⎤​s0​(t)+N(t)=AAAρs0​(t)+NNN(t)​

式中，$\rho$ρ 是由一系列复常数组成的$n×1$n×1维矢量。

2.2.3 宽带信号源数学模型

对于宽带信号，假设信号的带宽为$B$B，同样有第$l$l个阵元的接收数据（不考虑增益）
$x_l(t)=\sum_{i=1}^Ns_i(t-\tau_{li})+n_l(t),i=1,2,...,M$xl​(t)=i=1∑N​si​(t−τli​)+nl​(t),i=1,2,...,M

如果将观察时间$T_0$T0​分为$K$K个子段，每段时间为$T_d$Td​，然后对观察数据进行$J$J点的离散傅里叶变换（DFT），只要子段$T_d$Td​相比信号和噪声的相关时间较长，保证DFT变换后的数据是不相关的，就可以得到宽带模型：
$\pmb{X}_k(f_i)=\pmb{A}(f_i) \pmb{S}_k(f_i)+ \pmb{N}_k(f_i)$XXXk​(fi​)=AAA(fi​)SSSk​(fi​)+NNNk​(fi​)

式中，$\pmb{X}_k(f_i)$XXXk​(fi​)，$\pmb{S}_k(f_i)$SSSk​(fi​)，$\pmb{N}_k(f_i)$NNNk​(fi​)分别对应某频率的接收数据、信号及噪声的DFT变换，其中$k=1,2,...,J$k=1,2,...,J，J$J$J是指将带宽为$B$B的信号划分为$J$J个子带，上式对于不同频点$f_1,f_2,...,f_J$f1​,f2​,...,fJ​有$J$J个等式成立。
对于上式宽带信号模型，阵列流型矩阵应为
$\pmb{A}(f_i)= \begin{bmatrix} \pmb{a}_1(f_j) & \pmb{a}_2(f_j) & \cdots & \pmb{a}_N(f_j) \end{bmatrix}$AAA(fi​)=[aaa1​(fj​)​aaa2​(fj​)​⋯​aaaN​(fj​)​]

$\pmb{a}(f)= \begin{bmatrix} e^{-j2\pi f\tau_{1i}} & e^{-j2\pi f\tau_{2i}} & \cdots & e^{-j2\pi f\tau_{Mi}} \end{bmatrix}^T$aaa(f)=[e−j2πfτ1i​​e−j2πfτ2i​​⋯​e−j2πfτMi​​]T

2.2.4 分布式目标数学模型

当目标为分布式信号，即一群满足一定统计分布的散射体的集合时，考虑加性噪声背景，当$N$N个窄带分布式目标到达阵列时，阵列观测数据矢量可以表示为
$\pmb{X}(t)=\sum_{i=1}^N\int_{-\pi}^{\pi}{\pmb{a}(\beta)s_i(\beta-\beta_i,t)d\beta}+\pmb{N}(t)$XXX(t)=i=1∑N​∫−ππ​aaa(β)si​(β−βi​,t)dβ+NNN(t)

式中的积分限考虑间距为半波长的等距均匀线阵，满足
$\beta=\frac{2\pi d\sin{\theta}}{\lambda}=\pi\sin{\theta}$β=λ2πdsinθ​=πsinθ

即$-\pi\leq\beta\leq\pi$−π≤β≤π。另外，式中$s_i(\beta-\beta_i,t)$si​(β−βi​,t)为第$i$i个分布式目标信号源在$t$t时刻的角信号密度函数，$\beta_i$βi​是指分布式目标方向中心波达方向，一般情况下只需估计此参数。
实际应用中分布式目标内的散点辐射的信号一般是相干的，这时角密度函数可写为
$s_i(\beta-\beta_i,t)=s_i(t)g_i(\beta-\beta_i)$si​(β−βi​,t)=si​(t)gi​(β−βi​)

式中，$g_i(\beta-\beta_i)$gi​(β−βi​)是一个以$\beta_i$βi​为对称中心的确定性函数（第$i$i个分布式目标信号源的角信号分布函数），且满足
$\int_{-\pi}^{\pi}{g_i(\beta-\beta_i)d\beta}=1$∫−ππ​gi​(β−βi​)dβ=1

则信号模型进一步简化为
$\pmb{X}(t)=\pmb{B} \pmb{S} (t)+ \pmb{N} (t)$XXX(t)=BBBSSS(t)+NNN(t)
$B$B是$M×N$M×N的矩阵，且
$\pmb{B}= \begin{bmatrix} \pmb{b}(\beta_1) & \pmb{b}_2(\beta_2) & \cdots & \pmb{b}_N(\beta_n) \end{bmatrix}$BBB=[bbb(β1​)​bbb2​(β2​)​⋯​bbbN​(βn​)​]

其中$m×1$m×1维矢量
$\pmb{b}(\beta_i)=\int_{-\pi}^{\pi}{\pmb{a}(\beta)g_i(\beta-\beta_i)d\theta}$bbb(βi​)=∫−ππ​aaa(β)gi​(β−βi​)dθ

显然，放角信号分布函数$g_i(\beta-\beta_i)$gi​(β−βi​)为$\delta(\beta-\beta_i)$δ(β−βi​)时，即有$\pmb{b}(\beta_i)=\pmb{a}(\beta_i)$bbb(βi​)=aaa(βi​)，对应点目标信号源的导向矢量。
下面给出几种特殊角信号分布函数及对应分布式目标的导向矢量：
1.指数分布
$g_i(\beta-\beta_i)=\frac{1}{1-\rho_ie^{j(\beta-\beta_i)}}\\ \pmb{b}(\beta_i)=\begin{bmatrix} 1 & \rho_ie^{-j\beta_i} & \cdots & \rho_i^{M-1}e^{-j(M-1)\beta_i}\end{bmatrix}^T\\$gi​(β−βi​)=1−ρi​ej(β−βi​)1​bbb(βi​)=[1​ρi​e−jβi​​⋯​ρiM−1​e−j(M−1)βi​​]T

2.均匀分布
$g_i(\beta-\beta_i)=\begin{cases}\frac{1}{2\Delta_i} & |\beta-\beta_i|\leq\Delta_i\\0& \beta_i|>\Delta_i\end{cases}\\ \pmb{b}(\beta_i)=\begin{bmatrix} 1 &\frac{\sin{\Delta_i}}{\Delta_i}e^{-j\beta_i} & \cdots & \frac{\sin{(M-1)\Delta_i}}{(M-1)\Delta_i}e^{-j(M-1)\beta_i}\end{bmatrix}^T\\$gi​(β−βi​)={2Δi​1​0​∣β−βi​∣≤Δi​βi​∣>Δi​​bbb(βi​)=[1​Δi​sinΔi​​e−jβi​​⋯​(M−1)Δi​sin(M−1)Δi​​e−j(M−1)βi​​]T

3.三角分布
$g_i(\beta-\beta_i)=\begin{cases}(\beta-\beta_i+\Delta_i)/\Delta_i^2 & -\Delta_i\leq\beta-\beta_i<0\\(-\beta+\beta_i+\Delta_i)/\Delta_i^2 & 0\leq\beta-\beta_i\leq\Delta_i\\0& 其他\end{cases}\\ \pmb{b}(\beta_i)=\begin{bmatrix} 1 &\frac{2[1-\cos{\Delta_i}]}{\Delta_i^2}e^{-j\beta_i} & \cdots & \frac{2[1-\cos{(M-1)\Delta_i}]}{(M-1)^2\Delta_i^2}e^{-j(M-1)\beta_i}\end{bmatrix}^T\\$gi​(β−βi​)=⎩⎪⎨⎪⎧​(β−βi​+Δi​)/Δi2​(−β+βi​+Δi​)/Δi2​0​−Δi​≤β−βi​<00≤β−βi​≤Δi​其他​bbb(βi​)=[1​Δi2​2[1−cosΔi​]​e−jβi​​⋯​(M−1)2Δi2​2[1−cos(M−1)Δi​]​e−j(M−1)βi​​]T

4.高斯分布
$g_i(\beta-\beta_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\Delta_i^2}}e^{-\frac{(\beta-\beta_i)^2}{2\Delta_i^2}}\\ \pmb{b}(\beta_i)=\begin{bmatrix} 1 & e^{-\frac{\Delta_i^2}{2}}e^{-j\beta_i} & \cdots & e^{-\frac{(M-1)\Delta_i^2}{2}}e^{-j(M-1)\beta_i}\end{bmatrix}^T\\$gi​(β−βi​)=2πΔi2​​1​e−2Δi2​(β−βi​)2​bbb(βi​)=[1​e−2Δi2​​e−jβi​​⋯​e−2(M−1)Δi2​​e−j(M−1)βi​​]T

对于均匀分布而言，当$\rho_i=1$ρi​=1时，分布式目标的导向矢量对应点目标的导向矢量，即$\pmb{b}(\beta_i)=\pmb{a}(\beta_i)$bbb(βi​)=aaa(βi​)，对于均匀分布、三角分布和高斯分布而言，当分布参数$\Delta_i=0$Δi​=0时，分布式目标满足$\pmb{b}(\beta_i)=\pmb{a}(\beta_i)$bbb(βi​)=aaa(βi​)。

2.2.5 误差模型

误差：有限数据长度引起的误差、阵列的模型误差、噪声误差。
文献中考虑的误差模型
$\pmb{X}=\pmb{C}\pmb{\Gamma}\pmb{\Phi}\pmb{A}\pmb{S}+\pmb{N}$XXX=CCCΓΓΓΦΦΦAAASSS+NNN

式中$\pmb{C}$CCC是阵列的互耦阵（阵元间的互耦引起的），$\pmb{\Gamma}$ΓΓΓ是各阵元的增益组成的对角阵，$\pmb{\Phi}$ΦΦΦ是各阵元的初相位组成的对角阵。