定义

• 简单来说，“仿射变换”= “线性变换”+“平移”
• 线性变换
  
  • 变换前是直线的，变换后依然是直线
  • 变换前是平行线的，变换后依然是平行线
  • 变换前是原点的，变换后依然是原点
• 仿射变换
  
  • 变换前是直线的，变换后依然是直线
  • 变换前是平行线的，变换后依然是平行线
• 所以，线性变换一定是仿射变换，仿射变换不一定是线性变换

图示

如上图线性变换就是通过 翻转，旋转，缩放，错切 这四种原子变换复合而成的变换；仿射变换就是通过 平移，翻转，旋转，缩放，错切 这五种原子变换复合而成的变换。

齐次坐标表达

以二维图像的仿射变换为例，

在二维平面上

• 线性变换 y⃗ =Ax⃗ $\overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}$
• 仿射变换 y⃗ =Ax⃗ +b⃗ $\overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}$

引入齐次坐标表示

• 仿射变换

  [y⃗ 1]=[A0,..,0b⃗ 1][x⃗ 1]$$\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{y}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& \overrightarrow{b}\\ 0,..,0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{x}\\ 1\end{array}\right]$$
  
  展开来看，就是
  ⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a210a12a220t1t21⎤⎦⎥⎡⎣⎢x0y01⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& t_1\\ a_{21}& a_{22}& t_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ 1\end{array}\right]$$

• 从代数角度看，仿射变换矩阵具有 6 个*度，一组对应点(x0,y0)⇐⇒(x,y)$(x_0,y_0)\Leftarrow \Rightarrow (x,y)$可以提供两个等式，因此基于不共线的三组对应点，可以唯一确定仿射变换。

• 从几何角度看，齐次坐标把二维上的仿射变换升维成了三维上的线性变换。可以去 Wikipedia上看这个的动图
  

Ref

• Affine transformation - Wikipedia