图像傅里叶变换

图像是一个二维信号，所以对它进行二维傅里叶变换，对于MXN的一幅图像的离散二维傅里叶变换，公式如下：

从公式上可以看出，F(u,v)与f(x,y)并不是一一对应关系，F(u,v)所对应的不是某一个f(x,y)，而是所有的f(x,y)与e^(-j2TT(ux/M+vy/N))的乘积的和。

在冈萨雷斯书上看到类似如下图和它的频谱图，不理解它频谱图所代表的意义。自己画了一幅类似的图，并用matlab试了一下。

用matlab做傅里叶变换（即用fft2()函数）之后的图如下（这是一幅带相位的频谱图）：

用matlab去掉相位之后的图像如下：

首先傅里叶变换就是将时域信号分解为不同频率的正弦函数（或余弦函数）之和，幅度表示该频率的正弦函数的个数。

可以看出四个角都是白色（255）表示占所有正弦函数的百分比大（幅度高）的低频部分，中间是黑色（0）表示占所有正弦函数的百分比小（幅度低）的高频部分。

对其带相位的频谱图像中心化之后再去相位的图像如下：

这就是我们经常看见的傅里叶谱，也叫功率图，越亮代表能量越大，幅角越大。垂直方向与水平方向都有白色的条纹，说明在垂直方向与水平方向低频部分很明显。（这个傅里叶变换之后的图像与夫朗和费矩形孔衍射图像一模一样，没有仔细研究过为什么）。

图像的物理意义：

如果只保留图像的中心点，则图像的细节会丢失，大致轮廓还在，不同区域还有不同灰度。

如果保留远离中心的点，而去掉中心幅度，则保留着图像细节，而不同区域的灰度一样。

这就得出了一个结论：傅里叶变换后的白色部分（即幅度较大的低频部分），表示的是图像中慢变化的特性，或者说是灰度变化缓慢的特性（低频部分）。

傅里叶变换后的黑色部分（即幅度低的高频部分），表示图像中快变化的特性，或者说是灰度变化快的特性（高频部分）。