学习的一些类容来源于：Photogrammetry - Homogeneous Coordinates.

 本文主要分析了homogeneous坐标的定义，应用点。以及不同homogeneous变换的矩阵和*度。包括了刚体变换，相似变换，仿射变换和射影变换（投影变换）。

1. Homogeneous Coordinate的定义

  需要提前了解与掌握homogeneous coordinate的相关信息。homogeneous coordinate具有尺度不变性，主要是为了方便在描述同一直线上的时候，可以用一个尺度$\lambda$λ 来表示一系列的点。

1. What is homogeneous coordinate?
   Given a coordinate of a point $X$X,
   if :$\lambda x =X, \quad \lambda \neq0.$λx=X,λ​=0.
   then, we call this point is in the homogeneous coordinate.

   简明的说，就是在欧式坐标下，多加一个尺度因子，使用一个代表的点，就能够表明在这一条直线上的所有点。
$Euclidean : \quad x_{E}=[x, y]^T \\ Homogeneous: \quad x_H = [x,y,1]^T$Euclidean:xE​=[x,y]THomogeneous:xH​=[x,y,1]T

2. Why should we use homogeneous coordinates?
   A Euclidean coordinate can only represent one point, where as a homogeneous coordinate can represent one line.
   
   比如，在欧式坐标$E.C.$E.C.的一点$P_E$PE​， $P_E = (1,2)$PE​=(1,2)，那么，$P_E$PE​在单应坐标$H.C.$H.C.中，表示为$P_E = (1,2,1)$PE​=(1,2,1)。由于homogeneous coordinate的性质，以下的等式成立：
   $\lambda \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{1}=\left[\begin{matrix} 1\\ 2\\ 1 \end{matrix}\right]$λ⎣⎡​121​⎦⎤​=⎣⎡​121​⎦⎤​(1)因此，$[1,2,1]$[1,2,1]在homogeneous coord空间中，也表示$[3,6,3]$[3,6,3].欧式空间中的一点$[1,2]$[1,2]可以在$H.C.$H.C.空间中表示无数个点，即，一条线。

2. 使用Homogeneous Coordinate的优点

1. Infinity has better representation in $H.C.$H.C. than $E.C..$E.C..
     In 2D world, infinity representation in $E.C.$E.C. is $P_{infinity_{E}} = [\infty, \infty ]^T.$PinfinityE​​=[∞,∞]T. In $H.C.$H.C. is $P_{infinity_{H}} = [1, 2 ,0 ]^T.$PinfinityH​​=[1,2,0]T.
     In the $H.C.$H.C. representation, if we normalize the coordinate using the last dimension, we get $P_{infinity_{H}}=[\infty, \infty, 0]^T.$PinfinityH​​=[∞,∞,0]T. The first two dimensions match with the representation in $E.C.$E.C.
     Comparing with $P_{infinity_{E}}$PinfinityE​​, clearly, $P_{infinity_{H}}$PinfinityH​​ has a significant advantage that the $P_{infinity_{H}}$PinfinityH​​ use its first two dimensions to indicate the direction of the infinity. Where as $P_{infinity_{E}}$PinfinityE​​ only tell where the infinity is, but never shows the direction.

3. 相机投影的特点

  camera projection， 投影变换（projective transformation）是最基础的变换，在homogeneous矩阵中，除了最后一个元素（2D情况下，为第9个元素；3D情况下，为第16个元素）不变，为尺度因子$\lambda$λ， 矩阵中的其他的所有元素，都是参数可变的。因此，投影变换矩阵的*度（DOF）最多，为8（2D homogeneous矩阵）或者15（3D homogeneous矩阵）。投影变换，只具有保线性。其他的保角性，平行性，都不再保证。关于这一系列性质的证明，见我提供的证明文件。

1. line preserving（保线性）
2. Not angle preserving （非保角性）
3. Not parallel preserving （非保平行性，平行线会交于某个点）
4. No depth, scale information （无深度，尺度信息）

4. $H.C.$H.C.在射影几何作用

  Using $H.C.$H.C. in projective geometry can make the math more easier.
相机投影是将3D世界中的点投影到2D的相机图像平面，在投影过程中，深度信息被丢失。因此，我们无法知道相机图像平面上目标的大小，但由于在单应性$H.C.$H.C.坐标中，具有尺度不变性，这使得我们能够利用$H.C.$H.C.来表示我们的图像的投影。
  要想恢复深度，尺度信息，需要额外的3D信息，比如：

1. 多张图像，不同角度，位置拍摄的；
2. 相机的参数；
3. 已知的拍摄物体的大小。

5. Homogeneous Transformation的*度分析

  下面对3D坐标下的变换，进行简单的分析。并分别罗列出不同变换的*度。

1. 刚体变换（Rigid Body Transformation）
   最简单的是刚体变换（rigid body transformation）。 包括了平移（translation），旋转（rotation）。因此，旋转包括$X, Y, Z$X,Y,Z 3轴的变换，以及三个方向的平移。因此，*度，也就是参数的个数为6个。
   $T \tag{2}=\lambda\left[\begin{matrix} R_{3\times 3} &t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1\\ \end{matrix}\right]$T=λ[R3×3​01×3​​t3×1​1​](2)
2. 相似性变换（Similarity Transformation）
   在刚体变换的基础上，加上了尺度因子$m$m。在$3\times 3$3×3的旋转矩阵上，乘上尺度因子。因此，*度DOF为7。矩阵中右7个未知参数。
   $S \tag{3}=\lambda\left[\begin{matrix} mR_{3\times 3} &t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1\\ \end{matrix}\right]$S=λ[mR3×3​01×3​​t3×1​1​](3)
3. 仿射变换（Affine Transformation）
   仿射变换具有平行性，即，变换前为平行的线段在仿射变换后，也为平行的。但角度也许会发生变化。在刚体变换的基础上，引入了3个尺度变换因子，3个剪切元素。因此，$3\times3$3×3的旋转矩阵不在保持正交性质。因此*度DOF为9+3=12。
   $A\tag{4}=\lambda\left[\begin{matrix} N_{3\times3} &t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1\\ \end{matrix}\right]$A=λ[N3×3​01×3​​t3×1​1​](4)
4. 射影（投影）变换（Projective Transformation）
   平行线通过射影变换之后，不再保持平行。除了尺度归一化因子$\lambda$λ之外，其他所有的元素均为变量。因此，投影变换的*度DOF为15。
   $P\tag{5}=\lambda\left[\begin{matrix} N_{3\times3} &t_{3\times 1}\\ a_{1\times 3} & 1\\ \end{matrix}\right]$P=λ[N3×3​a1×3​​t3×1​1​](5)
   其中，$a^T$aT对应于将平行线变为不平行。

6. 变换层次分析

  下面是对不同变换之间的关系，进行分析。包括了几种不同的变换，以及他们之间的*度DOF。包括2D和3D下的不同变换矩阵的*度。