抄书——泛函分析讲义（上册）张恭庆——1.3列紧集

“ 列紧 ”是用来描述距离空间中一个子集具有某方面的自身特性。凡是具有 列紧 特性的子集（集合），由其元素构成的任意无尽点列（元素点构成的序列），皆存在收敛子列（子序列）。此处用“无尽”表示点列中元素数量的无穷，以避免与点列自身数值的“无穷”相混淆。
定义1：集合是列紧的
设 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ) 是一个距离空间，$A$A 是其一子集，称 $A$A 是 列紧 的，如果 $A$A 中任意点列在 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ) 中有一个收敛子列。若这个子列还收敛到 $A$A 中的点，则称 $A$A 是 自列紧 的。如果 $\mathcal H$H 是列紧的，那么称 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ) 为 列紧空间 。
$\mathcal H$H 是全集，$\rho$ρ 是其上定义的距离，合起来形成 pair 对 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ)，是空间。有关系：$A \subseteq \mathcal H$A⊆H，$A$A若是子集，则局部列紧；若$A$A是全集，则全局列紧。

$\epsilon$ϵ 网 是指距离空间中某类型的子集，它表达的是子个子集与空间的关系。
定义2：有穷 $\epsilon$ϵ 网
设 $M$M 是 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ) 的一个子集，$\epsilon\gt0,N\subset M$ϵ>0,N⊂M。如果对于$\forall x\in M$∀x∈M，即空间中任意点，$\exist y\in N$∃y∈N，使 $\rho(x,y)\lt\epsilon$ρ(x,y)<ϵ，那么称 $N$N 是 $M$M 的一个 $\epsilon$ϵ 网。如果 $N$N 还是一个有穷集（个数依赖 $\epsilon$ϵ），那么称 $N$N 为 $M$M 的一个 有穷 $\epsilon$ϵ 网。
定义3：完全有界
集合 $M$M 称为是完全有界的，如果 $\forall \epsilon\gt 0$∀ϵ>0，都存在着集合 $M$M 的一个有穷 $\epsilon$ϵ 网。

定理1：Hausdorff
$M\text{列紧}\Leftarrow\Rightarrow M\text{完全有界}$M列紧⇐⇒M完全有界
定理2：空间的可分性
$M\text{完全有界 }\Rightarrow M\text{可分}$M完全有界 ⇒M可分
什么叫“可分”呢？
定义4：Hausdorff可分
一个距离空间若有可数的稠密子集，就称为是可分的。
定义5：稠密子集
设 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ) 是一个度量空间。集合 $E\subset\mathcal H$E⊂H 叫做在 $\mathcal H$H 中的稠密子集，如果 $\forall x\in\mathcal H,\forall\epsilon\gt 0,\exist z\in E$∀x∈H,∀ϵ>0,∃z∈E，使得 $\rho(x,z)\lt \epsilon$ρ(x,z)<ϵ。换句话来说： $\forall x\in\mathcal H,\exist\{x_n\}\subset E$∀x∈H,∃{xn​}⊂E，使得 $x_n\rightarrow x$xn​→x。
子集$E$E其实充满了整个空间，打个比喻：一个空气空间（全集$\mathcal H$H），氧气（子集$E$E）就是稠密的。空气盒子中除了氧气，还有氮气、二氧化碳等，这些可数的稠密子集，因此空气是可分的。完全有界的空气盒子是可分的。
将一个抽象概念具象化、实例化，对理解很有帮助。
举例：
实数空间可分为大于0部分($R^+$R+)和小于等于0部分($R^-$R−)，但这不是Hausdorff可分，因为$R^+$R+和$R^-$R−都不是在R中稠密的子集。实数空间可分为有理数部分和无理数部分，因为有理数和无理数在R中稠密。

定义6：集合是紧的
该定义与定义1很象，但含义不同，描述的是集合的不同方面性质。“列紧”指的是序列是紧的，单单一个“紧”指的是覆盖是有穷的。而自列紧必紧，反之亦然。
定理2： 设 $(\mathcal H,\rho)$(H,ρ) 是一个距离空间，为了 $M\subset \mathcal H$M⊂H 是紧的必须而且仅须它是自列紧集。
证明：
1）必要性，即证明：$M$M 是紧集 $\Rightarrow$⇒ $M$M 是自列紧。
设 $M$M 是紧集。先证 $M$M 的余集是闭集，只要证 $M$M 的余集是开集。$\forall x_0\in \mathcal H\setminus M$∀x0​∈H∖M，因为
$M\subset\cup_{x\in M}B(x,\frac{1}{2}\rho(x,x_0))\qquad(1)$M⊂∪x∈M​B(x,21​ρ(x,x0​))(1)
【即闭集M是开球B的并，这些开球是以M中任意点$x$x为心，到外部任意一点$x_0$x0​距离的一半为半径的球。因为x已然是M中点的所有了，以它与外部一点距离一半作球，必包含x，有可能在球中还包含非M的点，因此它们的并，必然覆盖M。】
利用M的紧性，$\exist x_k\in M(k=1,2,\cdots,n)$∃xk​∈M(k=1,2,⋯,n)，使得：
$M\subset\cup_{k=1}^{n}B(x_k,\frac{1}{2}\rho(x_k,x_0))\qquad(2)$M⊂∪k=1n​B(xk​,21​ρ(xk​,x0​))(2)
【(2)中球的并，不同于（1）中球的并。（2）中的球是有穷个开覆盖，注意此处的球都是开集。】
取
$\delta=\min_{1\le k\le n}\frac{1}{2}\rho(x_k,x_0)$δ=1≤k≤nmin​21​ρ(xk​,x0​)
显然有，$\delta\gt 0$δ>0。取 $\forall x\in B(x_0,\delta)$∀x∈B(x0​,δ)，则显然有
$\text{For }\quad\rho(x_k,x_0)\ge 2\delta,\rho(x_0,x)\lt\delta,\quad \text{so} \\ \ \\ \rho(x,x_0)\ge\rho(x_k,x_0)-\rho(x_0,x)\gt\delta\quad(k=1,2,\cdots,n)\qquad(3)$For ρ(xk​,x0​)≥2δ,ρ(x0​,x)<δ,so ρ(x,x0​)≥ρ(xk​,x0​)−ρ(x0​,x)>δ(k=1,2,⋯,n)(3)
因此，$B(x_0,\delta)\cap M=\empty$B(x0​,δ)∩M=∅，有：
$\cup_{x_0\in \mathcal H\setminus M}B(x_0,\delta)=\mathcal H\setminus M \qquad(4)$∪x0​∈H∖M​B(x0​,δ)=H∖M(4)
由于 $B(x_0,\delta)$B(x0​,δ) 是开集，无限开集的并还是开集，因此 $\mathcal H\setminus M$H∖M 是开集，即 $M$M 是闭集。
其次，证M是列紧集，用反证法。
假设有M中的点列 $\{x_n\}${xn​} 不含有收敛子列，不妨设 $x_n$xn​ 是互异的。对每个 $n\in\mathbb N$n∈N，作集合 $S_n=\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_{n+1},\cdots\}$Sn​={x1​,x2​,⋯,xn−1​,xn+1​,⋯}，即挖掉了$x_n$xn​，显然每个$S_n$Sn​是闭集（因为$S_n$Sn​不包含收敛子列，即$S_n$Sn​不包含聚点，因此根据闭集定义(包含所有聚点，或不包含聚点的集为开集)，$S_n$Sn​是闭集。），从而每个$\mathcal H\setminus S_n$H∖Sn​ 是开集。但
$\cup_{n=1}^{\infty}(\mathcal H\setminus S_n)=\mathcal H\setminus \cap_{n=1}^{\infty}S_n=\mathcal H\setminus \empty=\mathcal H\supset M\qquad(5)$∪n=1∞​(H∖Sn​)=H∖∩n=1∞​Sn​=H∖∅=H⊃M(5)
由$M$M的紧性，即$M$M存在有限的覆盖，$\exist N\in \mathbb N$∃N∈N，使得 $\cup_{n=1}^N(\mathcal H\setminus S_n)\supset M$∪n=1N​(H∖Sn​)⊃M，即得
$\mathcal H\setminus \{x_n\}_{n=N+1}^{\infty}\supset M\qquad(6)$H∖{xn​}n=N+1∞​⊃M(6)
但这是不可能的，因为$x_{N+1}$xN+1​ 属于(6)的右边，而不属于(6)的左边，矛盾。因此，说明M是列紧的。
2）充分性：$M$M 是自列紧 $\Rightarrow$⇒ $M$M 是紧集
设M是自列紧的，要在M的任意开覆盖中取出有限覆盖。用反证法，如果某个开覆盖$\cup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\supset M$∪λ∈Λ​Gλ​⊃M，不能取出M的有限覆盖。由于M是列紧的(列紧->完全有界->有穷$\epsilon$ϵ网)，$\forall n\in\mathbb N$∀n∈N，存在有穷的$\frac{1}{n}$n1​网：
$N_n =\{x_1^{(n)},x_2^{(n)},\cdots,x_{k(n)}^{(n)}\}$Nn​={x1(n)​,x2(n)​,⋯,xk(n)(n)​}
显然$\cup_{y\in N_n}B(y,\frac{1}{n})\supset M$∪y∈Nn​​B(y,n1​)⊃M，即由网上的元素的球体的并覆盖M。因此，$\forall n\in\mathbb N,\exist y_n\in N_n$∀n∈N,∃yn​∈Nn​，使得$B(y_n,\frac{1}{n})$B(yn​,n1​)不能被有限个$G_{\lambda}$Gλ​所覆盖。
由于假定M是自紧集，必存在收敛子列$y_{n_k}$ynk​​收敛到一点$y_0\in G_{\lambda 0}$y0​∈Gλ0​。又由于$G_{\lambda 0}$Gλ0​是开集，所以$\exist \delta\gt 0$∃δ>0，使得$B(y_0,\delta)\subset G_{\lambda 0}$B(y0​,δ)⊂Gλ0​。对此，取k足够大，使$n_k\gt \frac{1}{\delta}$nk​>δ1​，并且$\rho(y_{n_k},y_0)\lt \frac{\delta}{2}$ρ(ynk​​,y0​)<2δ​，则$\forall x\in B(y_{n_k},\frac{1}{n_k})$∀x∈B(ynk​​,nk​1​)有：
$\rho(x,y_0)\le\rho(x,y_{n_k})+\rho(y_{n_k},y_0)\le\frac{1}{n_k}+\frac{\delta}{2}\le\delta$ρ(x,y0​)≤ρ(x,ynk​​)+ρ(ynk​​,y0​)≤nk​1​+2δ​≤δ
即$x\in B(y_0,\delta)$x∈B(y0​,δ)，从而$B(y_{n_k},1/n_k)\subset B(y_0,\delta)\subset G_{\lambda}$B(ynk​​,1/nk​)⊂B(y0​,δ)⊂Gλ​，即前面所说的不能覆盖，现在可以覆盖了，这与每个$B(y_n,1/n)$B(yn​,1/n)不能被有限个$G_{\lambda}$Gλ​覆盖矛盾。
证毕。
本节几个概念之间的关系如下图：

图1 紧、列紧、完全有界

函数空间上的列紧集

定义7：一致有界
设 $F$F 是 $C(M)$C(M) 的一个子集。如果 $\exist M_1\gt 0$∃M1​>0，使得 $\vert\phi(x)\vert\le M_1(\forall x\in M,\forall \phi\in F)$∣ϕ(x)∣≤M1​(∀x∈M,∀ϕ∈F)，则称 $F$F 是一致有界的。

定义8：等度连续
如果 $\forall \epsilon\gt 0$∀ϵ>0，总可以找到 $\delta(\epsilon)\gt 0$δ(ϵ)>0，使得：
$\vert \phi(x_1)-\phi(x_2)\vert\lt\epsilon,(\forall x_1,x_2\in M,\rho(x_1,x_2)\lt\delta,\forall \phi\in F)$∣ϕ(x1​)−ϕ(x2​)∣<ϵ,(∀x1​,x2​∈M,ρ(x1​,x2​)<δ,∀ϕ∈F)
则称 $F$F 是等度连续的。

定理3：（Arzela-Ascoli）
$F\subset C(M)$F⊂C(M)，$F$F 是一个列紧集 $\Leftarrow\Rightarrow$⇐⇒ $F$F是一致有界且等度连续的函数族。

有了列紧性的函数族（集），则可以在距离空间、紧空间中讨论函数的性质了。