九、MPS 态的性质和几种重要的形式

1. 无穷长平移不变的 MPS

---

       在研究物理算法时，我们往往要研究无穷大的体系，涉及到无穷大时我们需要引入平移不变性。

       如，对于一维无穷大海森堡模型，其哈密顿量可以写为
$\widehat{H}=\sum_{i=1}^{\infty} \widehat{H}_{i, i+1}$H=i=1∑∞​Hi,i+1​

其表示为无穷多个局域二体哈密顿量的求和，且其每一项的耦合参数都是相同的，也就是该哈密顿量本身具有平移不变性，从而基态具有平移不变性。

       这时如果我们要使用 MPS 态来计算该哈密顿量的基态，我们可以定义 单张量平移不变的 MPS 态来计算，其定义为中间的每个张量都相等的无穷长的 MPS 态，又称为均匀 MPS (uniform MPS) 。表示为：
$\Psi_{s_{1} s_{2} \ldots}=\operatorname{Tr} \left( A_{s_{1},:,:} A_{s_{2},:,:} \cdots \right)$Ψs1​s2​…​=Tr(As1​,:,:​As2​,:,:​⋯)

该 MPS 中仅包含一个张量 $A$A 记为 不等价张量，整个 MPS 由不等价张量的无穷多个复制收缩构成，可以简单记为：
$\Psi= \operatorname{Tr}\left([A]^{\infty}\right)$Ψ=Tr([A]∞)

       上述定义可以直接推广到 多张量平移不变 MPS ，例如双张量平移不变的情况可以记为：
$\Psi=\operatorname{Tr}\left([A B]^{\infty}\right)$Ψ=Tr([AB]∞)

在进行求解问题时，使用什么样的平移不变性，取决于对待解决物理问题的先验知识或猜测。

       反应无穷大平移不变 MPS 性质最重要的是其转移矩阵及转移矩阵的本征向量。

       有限 MPS 的各个算法可以推广至无穷长的 MPS ，例如 DMRG 算法可以推广为无穷密度矩阵重整化群 (iDMRG) 算法，TEBD 算法可以推广为无穷 TEBD (iTEBD) 算法等。无穷长平移不变矩阵乘积态又称为均匀矩阵乘积态 （uniform MPS，uMPS），这一类态构成了量子希尔伯特空间中一类特殊的流形。

2. 矩阵乘积态的涨落

---

       涨落是 MPS 态一个非常重要的特点，这里我们主要探讨任意几何指标维数为有限的 MPS 的关联与纠缠性质。

       首先我们定义 关联函数 为：处于不同格点单体算符相乘的平均值。即：
$\left\langle\hat{O}_{1}, \hat{O}_{2}\right\rangle=\left\langle\varphi\left|\hat{O}_{1} \hat{O}_{2}\right| \varphi\right\rangle$⟨O^1​,O^2​⟩=⟨φ∣∣∣​O^1​O^2​∣∣∣​φ⟩

其可以用图形表示为：

       我们定义 涨落 为：关联函数减去各算符平均值的乘积。即：
$F=\left\langle\hat{O}_{1}, \hat{O}_{2}\right\rangle-\left\langle\hat{O}_{1}\right\rangle\left\langle\hat{O}_{2}\right\rangle=\left\langle\varphi\left|\hat{O}_{1} \hat{O}_{2}\right| \varphi\right\rangle-\left\langle\varphi\left|\hat{O}_{1}\right| \varphi\right\rangle\left\langle\varphi\left|\hat{O}_{2}\right| \varphi\right\rangle$F=⟨O^1​,O^2​⟩−⟨O^1​⟩⟨O^2​⟩=⟨φ∣∣∣​O^1​O^2​∣∣∣​φ⟩−⟨φ∣∣∣​O^1​∣∣∣​φ⟩⟨φ∣∣∣​O^2​∣∣∣​φ⟩

性质一：若 $\varphi$φ 是一个几何维数有限的 MPS 态，考虑无穷长的实 MPS 态，且空间反演不变与平移不变（也就是构成 MPS 的所有张量都相等，即 $A^{(n)}=A$A(n)=A），此时当两个算符距离 $D >> 1$D>>1 时，涨落随 $D$D 呈指数衰减，满足
$F \sim e^{-\frac{D}{\xi}}$F∼e−ξD​

其中，$\xi$ξ 为整的常数，被称为关联长度。

       因此，对于无穷长的、平移不变且空间反演对称的实 MPS ，只能描述在长距离时涨落指数衰减的量子态。因此 MPS 难以用来很好的描述具备发散关联长度的系统，例如涨落随长距离呈代数衰减的临界系统的基态。

3. 矩阵乘积态与纠缠熵面积定律

---

       通过下图 MPS 的正交形式容易看出，其奇异谱 $\Lambda$Λ 的维数等于辅助指标的维数，同时由于 MPS 的归一化条件，有 $|\Lambda|=1$∣Λ∣=1 。

       可以证得，设奇异谱维数 $\dim(\Lambda)=\chi$dim(Λ)=χ ，当 $\Lambda=\left[\frac{1}{\sqrt{\chi}}, \frac{1}{\sqrt{\chi}}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\chi}}\right]$Λ=[χ​1​,χ​1​,⋯,χ​1​] 时，纠缠熵
$S=-\sum_{k=0}^{\chi-1} \Lambda^{2} \ln \Lambda^{2}$S=−k=0∑χ−1​Λ2lnΛ2

达到极大值。

因此，我们将上式带入纠缠熵的式子中，给定 MPS 辅助指标维数后，其能容纳的纠缠熵的上限为：
$S=-\sum_{k=0}^{\chi-1} \frac{1}{\chi} \ln \frac{1}{\chi}=\ln \chi$S=−k=0∑χ−1​χ1​lnχ1​=lnχ

       可见，在任意一处将 MPS 进行二分后，得到的两部分之间的纠缠熵大小与各部分包含的格点个数是无关的，其纠缠熵只与边界处辅助指标的维数有关。

       这里我们定义 纠缠熵的面积定理 为：对于 $D$D 维格点系统的量子态（边界的维数为 $D$D ），将体系二分后，两部分之间的纠缠熵满足：
$S \sim O\left(l^{D-1}\right)$S∼O(lD−1)

其中 $l$l 代表空间尺度（所含张量的个数）。

       对于一般的张量网络态，二分纠缠熵的上限一般是由穿过边界的辅助指标的总维数决定的（要选取穿过的辅助指标个数最小的边界进行二分）。

对于下图的二分张量网络，如果二分处的几何指标的维数都为 $\chi$χ ，那么其纠缠熵的上限为
$S = \ln(\chi\chi)=2\ln\chi$S=ln(χχ)=2lnχ

也就是对于一般的张量网络态，如果二分处的辅助指标的维数都是 $\chi$χ，其二分纠缠熵上限满足：
$S =N\ln\chi$S=Nlnχ

其中 $N$N 表示边界穿过几何指标的个数。

而根据纠缠熵的面积定律，纠缠熵满足
$S \sim O\left(l^{D-1}\right)$S∼O(lD−1)

所以一般的张量网络满足几维的面积定律要根据下式决定：
$N \sim O\left(l^{D-1}\right)$N∼O(lD−1)

对于 MPS 态，其中
$S=\ln \chi=\ln \chi l^{0}$S=lnχ=lnχl0

其中的 $N$N 为 1 ，那么只有 D 为 1 时，上式成立，所以 MPS 态满足一维量子态的纠缠熵面积定律。

       如果要构建满足二维纠缠熵面积定律的张量网络态，需要相应地改变网络的结构。例如我们定义在二维张量网络上的 投影纠缠对态（PEPS） ，如下图所示，通过红色虚线对该张量网络进行二分，二分时裁剪的辅助指标的个数和包含张量个数的关系满足：
$N =2(l_x+l_y)$N=2(lx​+ly​)

即
$N \sim O(l^{2-1})$N∼O(l2−1)

所以，在 PEPS 是满足二维的纠缠熵面积定律。

       由此我们可以看出，我们可以通过纠缠熵的面积定律来指导我们选择什么样的张量网络态来近似求解基态。这也是纠缠熵面积定律的主要运用。

4. MPO 与一维热力学计算

---

       在 TEBD 算法中，我们可以将演化算子通过张量分解表示成 MPO （矩阵乘积算符）的形式，如下图所示：

       有了 MPO 后，我们可以使用 TEBD 算符计算一维格点模型的热力学性质，该算法称为 线性张量重整化群算符 (LTRG) ，算法的基本思路为，直接以 MPO 的形式来计算有限温密度算符：
$\hat{\rho}(\beta)=e^{-\beta \sum_{\langle i, j\rangle} \hat{H}_{i j}}$ρ^​(β)=e−β∑⟨i,j⟩​H^ij​

用图形表示为：

       在 TEBD 算法中，我们在下面增加一个 MPS 态，将一层一层的 MPO 收缩到底层的 MPS 态上，在这里的算法中，我们直接将一层一层的 MPO 收缩到底层的 MPO 上。将所上面所有的 MPO 收缩后，最终的结果为一层的 MPO ，该结果就是温度为 $\beta$β 的密度算符。从而我们可以用该密度算符来计算有限温的热力学量。

       在对 MPO 进行收缩时，为了避免辅助指标呈几何增大，我们也需要对辅助指标进行裁剪，如下图所示：

       收缩一层 MPO 后，辅助指标的维数增大，这时我们可以将每个张量的上下两个指标 reshape 成一个指标，这时 MPO 被转换成一个 MPS 态，然后对其进行 MPS 态的低秩近似，对辅助指标进行裁剪，之后再将其 reshape 为两个指标，就实现了对其进行裁剪。将 MPO 转为为 MPS 态的过程被称为 纯化。

我们可以用图形表示为：