我理解的现代控制系统-传递函数和时域卷积

传递函数是用来表达系统动态特征的一种表达方式，通过分析它的特征根，就可以知道系统的动态特征。

线性系统的传递函数求法是，用系统输出的拉氏变换除以输入的拉氏变换。它只能用来分析定常系统，不定常系统是无法确定它的拉氏变换的。从传递函数的求解上可知，通过它只能看到系统的整体外在表现，而不能知道系统内部的具体构造，不同的内部构造得出的传递函数可能是相同的。

传递函数一般用s域表达。比如图2-1的RC网络，根据分压原理可以得出，

Vout(s)= 1/(RCs+1) Vin(s) (2-1)

图2-1

所以它的传递函数如下：

T(s)=(Vout(s))/(Vin(s))=1/(RCs+1) (2-2)

当Vin(s)=1，

Vout(s)=1/(RCs+1)=T(s) (2-3)

此时，输出在s域的表达就是传递函数。当输入的s域为1，它的时域刚好是单位冲激函数，即 Vin(t)=δ(t) ，此时对式(2-3)式求反变换，得出如下的单位冲激响应：

Vout(t)=e^((-t)/RC) (2-4)

下面直接从时域求输出，看看是否和式(2-4)对应起来。

首先整个回路的电压关系如下：

Vout(t)=Vin(t)-i(t)R=δ(t)-i(t)R (2-5)

两边求积分：

∫▒Vout(t)dt=∫▒δ(t)dt-∫▒i(t)Rdt=1-∫▒i(t)Rdt (2-6)

输出电压就是电容的电压，并有如下关系：

Vout(t)=1/C ∫▒i(t)dt (2-7)

将式(2-7)代入式(2-6)的最后一项，得：

∫▒Vout(t)dt=1-RCVout(t) (2-8)

对式(2-8)求解微分方程，可得出和式(2-4)一样的结果。

时域卷积是从时域角度对信号处理的方法，它包括两部分，一个是卷，一个是积。由式(2-4)可以知道当系统的输入为单位冲激时，它的输出就是单位冲激响应，那么当输入是一连串幅度不同的冲激时，输出会是什么情况呢。简单想像一下，根据线性系统的累加以性质，输出在任意时刻的值是输入的每一个输入在作用到这个时刻的值的累加，如果系统具有衰减作用，那么越早进来的输入此时衰减的越多，越晚进来的输入此时衰减的越小。网上有更直观的图形化方法，现在找不到了，我用手写的简单画一下，如下图：

图2-2

系统在5T时刻的输出可以用下式来表示

y(5T)=∑_(n=0)^5▒〖f(nT)*h(5T-nT)〗 (2-9)

如果当T非常小时，式(2-9)用积分表达如下：

y(t)=∫▒〖f(τ)*h(t-τ)dτ〗 (2-10)

式(2-10)不就是我们常见的卷积公式吗，卷的意思其实如图(2-2)上下图的连接线，它是卷绕着的，积的意思是累加和积分的意思。

卷积和传递函数有什么关系呢，根据拉氏的变换规则，式(2-10)的拉氏变换其实等于f(t)与h(t)的拉氏变换的乘积，这样就可以把卷积运算简单到普通乘法运算上了。