摄像机成像模型

本文主要涉及以下知识点：
1.图像坐标系和图像物理坐标系的建立
2.摄像机坐标系与世界坐标系的建立
3.摄像机成像模型
三维计算机视觉系统应能从摄像机获得的图像信息出发,计算三维环境的位置、形状等几何信息,并由此识别环境中的物体图像上每一点的亮度反映了空间物体表面某点反射光的强度,而该点在图像上的位置则与空间物体表面相应点的几何位置有关。这些位置的相应关系,由摄像机成像几何模型所决定,该几何模型的参数确定的过程称为摄像机标定,摄像机模型是光学成像几何关系的简化,最简单的模型是线性模型,或称为针孔模型,但是对于广角镜头,线性模型不能准确地描述成像关系,此时就需要对非线性摄像机标定。
1.图像坐标系和图像物理坐标系的建立
摄像机采集的图像以信号的形式输入计算机，经数模转换转换成数字图像，每幅数字图像在计算机内为MXN数组，每个元素（像素）的数值即是图像点的亮度（或灰度）。
在图像上定义直角坐标系u-v。每一像素的坐标*(u,v)分别是该像素在数组中的列数与行数,所以(u,v)*是以像素为单位的图像坐标系的坐标。由于（u，v）只表示像素位于数组中的列数和行数,并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置,因而需要再建立以物理单位例如毫米表示的图像坐标系，该坐标系以图像内某一点为原点,x,y轴分别与u,v轴平行,如下图所示: 图像坐标系

一般地，（u，v）表示以像素为单位的图像坐标系的坐标，（x,y）表示以毫米为单位的图像坐标系的坐标。在x-y坐标系中，原点O1定义在摄像机光轴与图像平面的交点，该点一般在位于图像中心处，但由于摄像机的偏离，若O1在u-v坐标系中的坐标（u0,v0）,每一个像素在x轴与y轴方向上的物理尺寸为dx,dy,则图像中任意一个像素点在两个坐标系下的坐标有如下关系：

齐次坐标与矩阵形式的逆关系为：

2.摄像机坐标系与世界坐标系的建立
在环境中选择一个基准坐标系来描述摄像机的位置，并用他描述环境中任何物体的位置，该坐标系称为世界坐标系，它由Xw,Yw,Zw轴组成，摄像机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵R与平移向量t来描述。因此,空间某一点在世界坐标系与摄像机坐标系下的齐次坐标分别是（Xw,Yw,Zw,1)T与(Xc,Yc,Zc,1)T。于是存在如下关系

其中，R为3X3正交单位矩阵，t为三维平移向量，0=（0,0,0）T。
3.摄像机成像模型
空间任何一点P在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表示,任何点P在图像上的投影位置p, 即光心O与P点的连线与图像平面的交点,这种关系也称为中心摄影或透视投影,由比例关系有如下关系式

其中（x,y）为p点的图像坐标。

所以可以得到世界坐标系和图像坐标系的关系 如下图所示：
摄像机的小孔成像模型

综上所述，就可以得到世界坐标系的P点坐标（Xw，Yw，Zw）与其投影点p点坐标（u,v）的关系：