斜投影——学习笔记

当投射直线与投影面不垂直时，投影面得到的就是斜投影，下面我们用一个直观的例子来说明
一个直观的例子：

假设：
1）投影平面为 z=0
2）直角坐标为(0，0，1)的点P通过斜投影得到点P’
3）L为P’到坐标原点的距离
4）α为OP’与x轴正向所形成的角
5）β为投射直线与投影平面所成的角

设三维空间中有直角坐标为(x，y，z)的任意一点Q’（如立方体的顶点），通过斜投影所得投影点的直角坐标为Q’（x’，y’，z’），显然 z’=0，则

沿y轴负方向看去（如上图），可得：
$\frac{x'-x}{z}=\frac{Lcosα}{1}$zx′−x​=1Lcosα​

同理，沿x轴负方向看去可得：
$\frac{y'-y}{z}=\frac{Lsinα}{1}$zy′−y​=1Lsinα​

因此有斜投影变换公式：
$x'=x+z(Lcosα),y'=y+z(Lsinα)$x′=x+z(Lcosα),y′=y+z(Lsinα)
可将三维空间中任意一点斜投影至平面 z=0上

如何得到斜二测投影？

实际上，观察图 1可知，投影平面上斜投影点的位置与角β有关，而角β受到点P位置和L大小的控制
我们可以调整点P位置和L大小，使得

当tanβ=2时，即可得到斜二测投影（斜二测投影使垂直于投影面的线段长度缩短为原来的一半）
当tanβ=1时，得到斜等测投影（斜等测投影使垂直于投影面的线段仍保持长度）

这时的α角还可以不同