旋转矩阵的推导过程

刚体变换

定义

一个映射g:$\R^3 \to \R^3$R3→R3如果满足一下两个特性，则是刚体变换
1. 长度保持不变：$\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert$∥g(p)−g(q)=∥p−q∥, 所有$p,q\in\R^3$p,q∈R3
2. 叉乘保持不变：$g_*(v×w)=g_*(v)×g_*(w)$g∗​(v×w)=g∗​(v)×g∗​(w)，所有向量$v,w\in\R^3$v,w∈R3

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旋转矩阵

A坐标系

$X_A=[1\ 0\ 0]^T$XA​=[1 0 0]T
$Y_A =[0\ 1\ 0]^T$YA​=[0 1 0]T

在A坐标系下的B坐标系

$X_B=cos\theta X_A+sin\theta Y_A=[cos\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ sin\theta\ 0]^T=[cos\theta \ sin\theta \ 0]^T$XB​=cosθXA​+sinθYA​=[cosθ 0 0]T+[0 sinθ 0]T=[cosθ sinθ 0]T
$Y_B=-sin\theta X_A+cos\theta Y_A=[-sin\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ cos\theta\ 0]^T=[-sin\theta \ cos\theta \ 0]^T$YB​=−sinθXA​+cosθYA​=[−sinθ 0 0]T+[0 cosθ 0]T=[−sinθ cosθ 0]T

构造矩阵

将$X_B\ Y_B$XB​ YB​放到一个矩阵里$R_{ab}=[X_B \ Y_B]$Rab​=[XB​ YB​],将之称为旋转矩阵

意义

将一个点的坐标值在不同的基底下进行变换
P点在B坐标系下为$P_B(a,b)$PB​(a,b)，可以进行一下变换
$P=[X_B\ Y_B]\begin{bmatrix} a \\b\\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =aX_B+bY_B \\ \ \ \ \ =(cos\theta X_A+sin\theta Y_A)a+(-sin\theta X_A+cos\theta Y_A)b\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]R_{ab}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}$P=[XB​ YB​][ab​]    =aXB​+bYB​    =(cosθXA​+sinθYA​)a+(−sinθXA​+cosθYA​)b    =[XA​ YA​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][ab​]    =[XA​ YA​]Rab​[ab​]
可以看到，我们把基底从$[X_B\ Y_B]$[XB​ YB​]换成了$[X_A\ Y_A]$[XA​ YA​]，也就是同一个点，在B坐标系下的坐标为$[a \ b]^T$[a b]T,在A坐标系下的坐标为$R[a \ b]^T$R[a b]T,可以理解为是空间中同一个点在不同的坐标系中（坐标系旋转了）的表示，也可以理解为同一个坐标系下，是点在运动（假设坐标系没动，那么动的就是点）。

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平移变换

刚体变换除了旋转外还有平移运动，假设变换后的坐标系B的原点在原来坐标系A下为$P_{AB}=[x_1 \ y_1]^T$PAB​=[x1​ y1​]T则
$P_A=R_{AB}P_B+P_{AB}$PA​=RAB​PB​+PAB​
结合以上的推导，我们可以将刚体变换写成齐次坐标的形式
$P_A=\begin{bmatrix} R_{AB} & P_{AB}\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} P_{B} \\ 1\end{bmatrix}$PA​=[RAB​0​PAB​1​][PB​1​]

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以上的推导同样可以拓展到三维空间里

绕Z轴旋转的旋转矩阵

$R_Z(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta &0\\ sin\theta & cos\theta & 0 \\0&0&1\end{bmatrix}$RZ​(θ)=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​

绕Y轴旋转的旋转矩阵

$R_Y(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta &0& sin\theta \\ 0&1&0\\ -sin\theta &0& cos\theta \end{bmatrix}$RY​(θ)=⎣⎡​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​⎦⎤​

绕X轴旋转的旋转矩阵

$R_X(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta \\0&sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}$RX​(θ)=⎣⎡​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎦⎤​