射影变换的初步了解

  2D射影几何研究的是关于射影平面${\rm IP}^2$IP2在所谓射影映射的变换群下保持不变的性质。

定义1  射影映射是把${\rm IP}^2$IP2到自身的一种满足下列条件的可逆映射$h$h：三点${\rm x}_1,{\rm x}_2,{\rm x}_3$x1​,x2​,x3​共线当且仅当$h({\rm x}_1),h({\rm x}_2),h({\rm x}_3)$h(x1​),h(x2​),h(x3​)也共线。

  射影映射组成一个群，因为其逆和复合运算符合群性质。又称为保线变换，射影变换或单应(homography)。下面给出其等价代数定义。

定理1  映射$h:{\rm IP^2 \rightarrow IP^3}$h:IP2→IP3是射影映射的充要条件是：存在一个$3\times 3$3×3非奇异矩阵$H$H,使得${\rm IP}^2$IP2的任何一个用矢量$\rm x$x表示的点都满足$h({\rm x})={\rm H}{\rm x}$h(x)=Hx。

定理表明射影映射都是以这样一次齐次坐标的线性变换出现，反之这样的映射是射影映射。

  使用${\rm x}$x表示${\rm IP}^2$IP2中的点，而用${\rm Hx}$Hx表示齐次坐标的线性映射。我们证明下面的命题成立，用来不全面证明定理1。

齐次坐标的任何可逆线性变换是射影映射

证明

  令${\rm x}_1,{\rm x_2}$x1​,x2​和${\rm x}_3$x3​都在同一条直线 ${\rm l}$l 上。因此

${\rm l}^T{\rm x}_i=0,i=1,\cdots,3$lTxi​=0,i=1,⋯,3

  令$\rm H$H是非奇异$3\times 3$3×3的矩阵，又上面式子可以得到

${\rm l^TH^{-1}Hx}_i=0 \rightarrow ({\rm H}^{-T}{\rm l})^T({\rm Hx}_i)=0$lTH−1Hxi​=0→(H−Tl)T(Hxi​)=0

  因此点${\rm Hx}_i$Hxi​都在直线$\rm H^{-T}l$H−Tl上。因而该变换保持共线性。

逆命题

  每个射影映射都以这种方式出现。

  给出另一个射影变换（保线变换）的定义。

定义2   射影变换。平面射影变换是关于齐次三维矢量的一种线性变换，并可用一个非奇异$3\times 3$3×3矩阵${\rm H}$H表示为：

$\begin{pmatrix}x^\prime_1\\x^\prime_2\\x^\prime_3\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\tag{1}$⎝⎛​x1′​x2′​x3′​​⎠⎞​=⎣⎡​h11​h21​h31​​h12​h22​h32​​h13​h23​h33​​⎦⎤​⎝⎛​x1​x2​x3​​⎠⎞​(1)

  或更简洁表示为$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx。

  注意，可以通过乘以任意非零比例因子来改变在该等式中出现的矩阵$H$H而不改变射影变换。 因此，我们说$H$H是一个齐次矩阵，因为在点的齐次表示中，只有矩阵元素的比例是有意义的。 在$H$H的九个元素中有八个独立的比率，因此射影变换具有八个*度（减掉一个比例因子）。

  射影变换将每个图形投影为射影等价的图形中，使其所有射影属性保持不变。 在前一篇博文中我们描述的射线模型中，射影变换仅仅是${\rm IR}^3$IR3的线性变换。

平面间的映射

  图1给出了定理1的一个例子。

图1。 中心投影将一个平面上的点映射到另一个平面上的点。 过投影中心作一张与两平面$\pi$π和$\pi^\prime$π′相交的平面，可以看到中心投影也将线映射到线。 由于线被映射到线，因此中心投影是射影的，并且可以通过齐次坐标的线性映射$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx来表示。

  沿着通过公共点（投影中心）的射线的投影定义了从一个平面到另一个平面的映射。 很明显，这种点到点的映射保留了直线不变，其中一个平面中的线被映射到另一个平面中的线。

  如果在每个平面中定义坐标系并且以齐次坐标表示点，则中心投影映射可以用$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx表示，其中$H$H是非奇异$3\times3$3×3矩阵。 实际上，如果在两个平面中定义的两个坐标系都是欧氏（直角）坐标系，那么由中心投影定义的映射比一般射影变换更受限制。 它被称为透视映射而不是完全的射影映射，并且可以用具有六个*度的变换来表示。

消除平面透视图像的射影失真

  在透视成像下形状会失真（变形）。 例如，在图2中，窗口在图像中不是矩形，尽管原有窗子是。 通常，场景平面上的平行线在图像中不平行，而是收敛到有限点。 我们已经看到平面（或平面的一部分）的中心投影图像通过投影变换与原始平面相关，因此图像是原始的射影失真。 通过计算逆变换并将其应用于图像，可以“撤销”该投影变换。 结果将是一个新的合成图像，其中平面中的物体以其正确的几何形状显示。 这将在图2 a的建筑物的前墙解释。 注意，由于地面和大楼的前墙不在同一平面上，因此必须用于矫正前墙的投影变换与用于地面的投影变换不同。

图2.消除透视失真。 （a）具有透视失真的原始图像 - 窗口的线明显地收敛于有限点(延长后相交)。（b）合成得到的前墙的正视图。 墙的图像（a）通过射影变换与墙的真实几何形状相关联。 通过将四个成像窗口角点映射到适当大小的矩形顶点来计算逆变换。 由四点对应确定变换。 然后将变换应用于整个图像。 注意，地面图像的部分受到进一步的射影失真。 这也可以通过射影变换来消除。

  首先，选择平面与图像想对应的部分。然后选择图像平面的2D局部坐标和景物的世界坐标，如图1所示。

  设世界与图像平面上一对匹配点$\rm x$x和$\rm x^\prime$x′。 我们在这里使用点的非齐次坐标而不是齐次坐标，因为这些非齐次坐标可以直接从图像和世界平面得到。式（1）的射影变换可以用非齐次形式写成

$x^\prime=\frac{x_1^\prime}{x^\prime_3}=\frac{h_{11}x+h_{12}y+h_{13}}{h_{31}x+h_{32}y+h_{33}},y^\prime=\frac{x_2^\prime}{x^\prime_3}=\frac{h_{21}x+h_{22}y+h_{23}}{h_{31}x+h_{32}y+h_{33}}$x′=x3′​x1′​​=h31​x+h32​y+h33​h11​x+h12​y+h13​​,y′=x3′​x2′​​=h31​x+h32​y+h33​h21​x+h22​y+h23​​

  每个点对应关系为$H$H元素的两个方程，将其乘出简化后是

$x^\prime(h_{31}x + h_{32}y + h_{33}) = h_{11}x + h_{12}y + h_{13}$x′(h31​x+h32​y+h33​)=h11​x+h12​y+h13​

$y^\prime(h_{31}x + h_{32}y + h_{33}) = h_{21}x + h_{22}y + h_{23}$y′(h31​x+h32​y+h33​)=h21​x+h22​y+h23​

  这些方程在$H$H的元素中是线性的。四点对应在H的元素中导致八个这样的线性方程，这足以求出$H$H，只差不重要的乘法因子。 唯一的限制是四个点必须处于“一般位置”，这意味着没有三个点是共线的。 然后将以这种方式计算的变换$H$H的逆应用于整个图像，以消除透视失真对所选平面的影响。 结果如图2 b所示。

  说明：首先，以这种方式计算矫正变换$H$H不需要知道任何相机的参数或平面的位姿; 第二，并不总是需要知道四点的坐标以消除投影失真。

  射影变换是代表比世界平面的透视成像更多情况的重要映射。 许多其他例子如图3所示。

图3.在透视图像中射影变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx的例子。 （a）由世界平面引起的两个图像之间的射影变换（两个射影变换的复合是射影变换）; （b）具有相同摄像机中心的两个图像之间的射影变换（例如，摄像机围绕其中心旋转或变焦其焦距）; （c）平面图像（建筑物的后墙）与其阴影图像到另一个平面（地平面）之间的射影变换。

直线与二次曲线的变换

直线的变换

  在定理1的证明中指出，如果点${\rm x}_i$xi​位于线 $\rm l$l 上，那么变换点$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx在射影变换下位于线$\rm l^\prime=H^{-T}l$l′=H−Tl。 通过这种方式保持了点在线上的性质，因为${\rm l^{\prime T}x}^\prime_i={\rm l^TH^{-1}Hx}_i$l′Txi′​=lTH−1Hxi​。这给出了线的变换规则：在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，直线 $\rm l$l 变换为

$\rm l^\prime=H^{- T}l$l′=H−Tl

  或者可以写$\rm l^{\prime T}=l^TH^{-1}$l′T=lTH−1。

  注意线和点变换的根本区别。 点根据$H$H变换，而线（作为行向量）根据$H^{-1}$H−1变换。 这可以用“协变”或“逆变”行为来解释。 有人说，点变换是逆变，线变换是协变。

二次曲线的变换

  我们知道在前面博文讲述二次曲线和对偶二次曲线时，说过点在二次曲线上的方程为$x^TCx=0$xTCx=0，那么射影变换中，即在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，该式变为：

$\begin{aligned}\rm x^TCx&=\rm x^{\prime T}[H^{-1}]^TCH^{-1}x^\prime\\&=\rm x^{\prime T}H^{-T}CH^{-1}x^\prime\end{aligned}$xTCx​=x′T[H−1]TCH−1x′=x′TH−TCH−1x′​

  这是二次形式$\rm x^{\prime T}C^\prime x^\prime$x′TC′x′，其中$\rm C^\prime=H^{-T}CH^{-1}$C′=H−TCH−1。 这给出了二次曲线的变换规则：

结论1  在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，二次曲线$\rm C$C变换为$\rm C^\prime=H^{-T}CH^{-1}$C′=H−TCH−1

$\rm H^{-1}$H−1在方程中，所以二次曲线变换称为协变。

结论2  在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，对偶二次曲线$\rm C^*$C∗变换为$\rm C^{\prime*}=HC^*H^{T}$C′∗=HC∗HT

  我们知道在前面博文讲述二次曲线和对偶二次曲线时，说过对偶二次曲线的方程为$\rm l^TC^*l=0$lTC∗l=0。

  在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，我们得到$\rm l^\prime=H^{-T}l$l′=H−Tl，可以得到：

$\rm l=H^Tl^\prime$l=HTl′

  所以我们可以得到

$\begin{aligned}\rm l^TC^*l&=\rm (H^Tl)^TC^*H^Tl^\prime\\&=\rm l^{\prime T}HC^*H^Tl^\prime \\&=\rm l^{\prime T}C^{\prime*}l^\prime\end{aligned}$lTC∗l​=(HTl)TC∗HTl′=l′THC∗HTl′=l′TC′∗l′​

  所以$\rm C^{\prime*}=HC^*H^T$C′∗=HC∗HT

博文内容总结和概览

知识

概念	定义
射影映射(保线变换，射影变换或单应(homography))	射影映射是把${\rm IP}^2$IP2到自身的一种满足下列条件的可逆映射$h$h：三点${\rm x}_1,{\rm x}_2,{\rm x}_3$x1​,x2​,x3​共线当且仅当$h({\rm x}_1),h({\rm x}_2),h({\rm x}_3)$h(x1​),h(x2​),h(x3​)也共线。
射影变换另一定义	平面射影变换是关于齐次三维矢量的一种线性变换，并可用一个非奇异$3\times 3$3×3矩阵${\rm H}$H表示为$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx
平面间映射	点对点映射且保持直线不变。若是两平面建立都是欧氏直角坐标系，则为透视映射。
消除透视失真	简单使用四个对应点关系求解出$H$H,然后将逆变换应用到失真图像中以消除射影失真。
直线的变换	如果点${\rm x}_i$xi​位于线 $\rm l$l 上，那么变换点$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx在射影变换下位于线$\rm l^\prime=H^{-T}l$l′=H−Tl或$\rm l^{\prime T}=l^TH^{-1}$l′T=lTH−1。
二次曲线变换	在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，二次曲线$\rm C$C变换为$\rm C^\prime=H^{-T}CH^{-1}$C′=H−TCH−1
对偶二次曲线变换	在点变换$\rm x^\prime=Hx$x′=Hx下，对偶二次曲线$\rm C^*$C∗变换为$\rm C^{\prime*}=HC^*H^{T}$C′∗=HC∗HT

定理

概念	内容
射影映射等价代数定义	映射$h:{\rm IP^2 \rightarrow IP^3}$h:IP2→IP3是射影映射的充要条件是：存在一个$3\times 3$3×3非奇异矩阵$H$H,使得${\rm IP}^2$IP2的任何一个用矢量$\rm x$x表示的点都满足$h({\rm x})={\rm H}{\rm x}$h(x)=Hx