一、离散图像的正交变换

1.1 什么是图像变换？

将图像看成是线性叠加系统的结果；图像在空域具有很强的相关性；==图像变换是将图像从空域变换到其他域如频域的数学变换；==借助于正交变换的特性可使在空域上的复杂计算转换到频域后得到简化；借助频域特性的分析，将更有利于获得图像的各种特性和进行特殊处理。

1.2 可进行图像变换的基本条件

1、满足正交、完备两个条件的函数集合或矩阵才能用于图像的分析；
2、常用的几种变换：傅里叶变换、WALSH变换、哈达玛变换、Haar变换、SLANT变换、K-L变换以及特定条件下的CONSINE变换、SINE变换等，都满足正交性和完备性两个条件。

1.3 离散图像的正交变换

离散图像的正交变换为图像信号在一组二维离散完备正交基上的展开，这种正交基展示具有无损重构的性质，以及图像能量的集中和图像信号元素的去相关性能，在图像处理中具有重要作用。

二、傅里叶变换

基本数学概念
调谐信号（欧拉公式 ）

傅里叶积分

2.1 傅里叶变换的定义（一维）

2.2 几种特殊函数的傅里叶变换

2.3 二维离散傅里叶变换性质

1、线性性质（加法定理）

2、比例性质（相似性定理）

比例特性表明：信号在时域中压缩(k>1,变化速度加快)等效于在频域扩展(频带加宽)；反之亦然。
3、可分离性

二维DFT可分离为两次一维DFT。
4、空间位移(位移定理)

信号在时域中沿时间轴平移一个常数时，即函数自变量的位移的傅里叶变换产生一个复系数，等效于频谱函数的相位谱改变，而幅度谱不变。
5、频率位移

函数的频率位移相当于傅里叶变换的坐标原点平移，而幅度谱和相位谱不变。
6、周期性

离散傅里叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的函数。
7、共轭对称性

图像的傅里叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数。
8、旋转不变性

即：如果f(x,y)旋转了一个角度a，那么f(x,y)旋转后图像的傅里叶变换也旋转了相同的角度a。
结论：对图像的旋转变换和傅里叶变换的顺序是可交换的。
9、平均值

离散函数的均值等于该函数傅里叶变换在(0,0)点的值。
10、卷积定理

空域中的卷积等价于频域中的相乘。
11、相关定理

空域中f(x,y)与g(x,y)的相关等价于频域中F(u,v)的共轭与G(u,v)相乘。
12、拉普拉斯函数：

其傅里叶变换为：

这个定理将在图像的边界提取中用到。

2.4 二维离散傅里叶变换的显示与计算

在光学傅里叶变换中，人们已经习惯于变化领域中的低谱部分位于中央，使频域的频谱分布中间低、周围高，有利于对频谱的解释和进行各种计算与分析。为此，借助于傅里叶变换的周期性和频率位移性质，对此，通常对频域进行换位以使频谱分布符合上述要求——图像中心化(fftshift函数)。

• 离散傅里叶变换的幅度与相位
  图像信号的傅里叶变换包含幅度与相位两部分；
  幅度谱具有较明显的信号结构特征和易于解释；
  实验证明，幅度本身只包含有图像本身含有的周期结构，并不表示其在何处；
  相位谱类似于随机图像，一般难以进行解释；
  物体在空间的移动，相当于频域的相位移动，相位谱同样具有重要意义。
  单凭幅度或相位信息，均不足以恢复原图像。

2.5 傅里叶变换的应用

• 在图像高低通滤波中的应用；
• 在图像噪声滤波中的应用；
• 在图像选择性滤波中的应用；
• 在图像压缩中的应用；
• 在图像增强中的应用。

三、离散余弦变换

3.1 问题的提出

傅里叶变换的一个最大问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍，为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。
当f(x)为实的偶函数时，傅里叶变换域中得到实的偶函数，在一维离散傅里叶变换中

当f(x)为偶函数时，傅里叶变换的计算公式虚部为零，只有余弦项。

3.2 离散余弦变换定义

一维离散余弦变换的定义：

归一化表示为：

反变换为：
矩阵表示为：

任意函数离散余弦变换

一个任意函数采样从0，1，2，……，N-1，若向负方向折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N的偶函数傅里叶变换，此时可采样离散余弦变换进行。

理论上二维离散余弦变换，二维偶函数：

但实际中，通常假定该图像是中心对称的。

二维离散余弦变换定义

矩阵表示：

其中C的元素为：

3.3 余弦变换(DCT)的性质

余弦变换为实的正交变换，变换核的基函数正交；
序列的余弦变换是DFT的对称扩展形式；
核可分离，可以用两次一维变换来执行；
余弦变换的能量向低频集中
余弦变换也有快速变换，和快速傅里叶变换一脉相承。

3.4 余弦变换的应用

压缩编码（利用的是能量向低频集中的性质）；

四、沃尔什-哈达玛变换

能否进一步找到计算更简单的变换？
方法一、构建更为简单的正交函数集，只要满足正交关系：

对正弦函数集进行深入研究，发现不考虑函数值，仅考察函数值的过零点位置分布时，可形成包含+1和-1极值状态下的正交函数集。

4.1 哈达玛矩阵

4.2 二维沃尔什-哈达玛变换定义

变换矩阵H具有递推公式

4.3 沃尔什-哈达玛变换(WHT)特性及应用

特性

• WHT变换是实的、对称的、正交变换；
• WHT可由快速算法实现，因为DHT只包括加减，因此没有任何乘法运算；
• WHT有较好的能量集中特性
  应用
  电话通讯线路架设问题；

五、斜(Slant)变换

斜变换-变换矩阵
NN变换矩阵N = (2)ⁿ用S_n表示，可有：

由22基础矩阵，通过下面的方式产生N*N矩阵：

其中0表示全0矩阵，I_m表示m阶单位矩阵。

5.1 斜变换-变换公式

设二维图像矩阵为X，其斜变换为：

反变换为：

5.2 斜变换的性质

• 斜变换为实的正交变换：S = S*, S^-1 = S^T
• 斜变换具有快速计算特性，对N*1向量，只需要O(Nlog₂N)次操作；
• 斜变换具有更好的能量压缩特性。

斜变换是由沃尔什—哈达玛变换中矩形状态变化变为倾斜状态变化所得的结果，因此也称为倾斜哈达玛变换。
斜变换的基本思想在于：根据图像信号的相关性，某行的亮度具有基本不变或线性渐变的特点，可以编造一个变换矩阵，来反映这种递增或递减(线性渐变)特性的行向量。斜变换适用于灰度逐渐改变的图像信号，已成功用于图像编码。