正交矩阵之旋转与镜射

正交矩阵

假设 $A$A 为 $n$n 阶实方阵, 满足

$A^{\mathsf T}A = AA^{\mathsf T} = I$ATA=AAT=I

即 $A^{\mathsf T}=A^{-1}$AT=A−1, 称 $A$A 正交矩阵(orthogonal matrix). 由上式可知: $\lVert A \rVert = \pm 1$∥A∥=±1.

设 $A=[\alpha_1, \dots, \alpha_n],\ \alpha_i$A=[α1​,…,αn​], αi​ 为 $A$A 的列向量, 满足

$\alpha_i \cdot \alpha_j= \begin{cases} 1 \quad i = j \\[3pt] 0 \quad i \neq j \end{cases}$αi​⋅αj​={1i=j0i​=j​

即正交矩阵的列向量是 $\mathbb{R}^n$Rn 的标准正交基.

正交矩阵满足如下性质:

1. 对于任意 $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$x,y∈Rn, $(A\mathbf{x})^{\mathsf T}(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^{\mathsf T}\mathbf{y}$(Ax)T(Ay)=xTy
2. 对于任一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$x∈Rn, $\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$∥Ax∥=∥x∥
3. 对于任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$x,y∈Rn, $\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$∥Ax−Ay∥=∥x−y∥

上述性质采用循环式证明不难验证

假设 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}, \, \mathbf{x}\neq 0$Ax=λx,x​=0, 利用性质 2

$\Vert\mathbf{x}\Vert = \Vert A\mathbf{x}\Vert= \Vert\lambda \mathbf{x}\Vert = \vert\lambda\vert \Vert\mathbf{x}\Vert$∥x∥=∥Ax∥=∥λx∥=∣λ∣∥x∥

得到: $\vert\lambda\vert = 1$∣λ∣=1, 即正交矩阵的特征值的绝对值等于 $1$1.

旋转

若 $\lVert A \rVert = 1$∥A∥=1, 则成正交矩阵 $A$A 为旋转矩阵. 当 $n=2$n=2 时, 逆时针旋转 $\theta$θ 角度的旋转矩阵为:

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$R(θ)=[cos(θ)sin(θ)​−sin(θ)cos(θ)​]

显然, $R(\theta)^{\mathsf T}=R(-\theta)=R^{-1}(\theta)$R(θ)T=R(−θ)=R−1(θ), 且

$\lVert R(\theta) \rVert =\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$∥R(θ)∥=cos2θ+sin2θ=1

以及 $R(\theta)$R(θ) 的特征值为 $\cos\theta\pm i\sin\theta$cosθ±isinθ, 其中 $i=\sqrt{-1}$i=−1​.

镜射

令 $\mathcal{U}$U 为 $\mathbb{R}^n$Rn 的一个子空间，且 $P$P 是值域为 $\mathcal{U}^\perp$U⊥ 的正交投影矩阵，满足

$P^2=P=P^T$P2=P=PT

给定 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$x∈Rn, 写出 $\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(I-P)\mathbf{x}$x=Px+(I−P)x, 其中 $P\mathbf{x}\in\mathcal{U}^\perp$Px∈U⊥, $(I-P)\mathbf{x}\in\mathcal{U}$(I−P)x∈U, 因为

$\begin{aligned} (P\mathbf{x})^{\mathsf T}(I-P)\mathbf{x} &=\mathbf{x}^{\mathsf T}P^{\mathsf T}(I-P)\mathbf{x} \\[3pt] &=\mathbf{x}^{\mathsf T}(P-P^2 )\mathbf{x}=0 \end{aligned}$(Px)T(I−P)x​=xTPT(I−P)x=xT(P−P2)x=0​

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假设 $n=3$n=3, 如上图所示, 令

$S\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(P-I)\mathbf{x}=(2P-I)\mathbf{x}$Sx=Px+(P−I)x=(2P−I)x

对于子空间 $\mathcal{U}^\perp$U⊥，我们称 $S\mathbf{x}$Sx 是点 $\mathbf{x}$x 的镜射点，镜射矩阵为

$S=2P-I$S=2P−I

假设 $n=2$n=2,

• 若 $\mathcal{U}^\perp=\{\mathbf{0}\}$U⊥={0}, 则正交投影矩阵为 $P_1=0$P1​=0, 对于原点的镜射矩阵则为 $S_1=-I_2$S1​=−I2​.

• 若 $\mathcal{U}^\perp=L$U⊥=L 为一穿越原点的直线, 称为镜射轴, 设 $L$L 与正 $X$X 轴的夹角为 $\phi$ϕ (以下夹角皆为逆时针转角).

令 $\mathbf{v}=[\cos\phi, \, \sin\phi ]^{\mathsf T}$v=[cosϕ,sinϕ]T 代表镜射轴 $L$L 的方向向量, 即 $L=\text{span}\{\mathbf{v}\}$L=span{v}. 写出映至直线 $L$L 的正交投影矩阵
$P_2=\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf T}}{\mathbf{v}^{\mathsf T}\mathbf{v}}=\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf T}$P2​=vTvvvT​=vvT
相应的, 镜射轴 $L$L 的镜射矩阵为
$\begin{aligned} S_2&=2\mathbf{v}\mathbf{v}^T-I \\[3pt] &=\begin{bmatrix} 2\cos^2\phi-1&2\cos\phi\sin\phi\\ 2\sin\phi\cos\phi&2\sin^2\phi-1 \end{bmatrix} \\[3pt] &= \begin{bmatrix} \cos 2\phi&\sin 2\phi \\ \sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{bmatrix} \end{aligned}$S2​​=2vvT−I=[2cos2ϕ−12sinϕcosϕ​2cosϕsinϕ2sin2ϕ−1​]=[cos2ϕsin2ϕ​sin2ϕ−cos2ϕ​]​

原文链接:
matnoble.me/posts/rotationandmirroring/