任何旋转，都可以用一个旋转轴$\hat \omega$ω^和一个旋转角$\theta$θ来描述。

1. 坐标系的线速度和角速度

如上图，在旋转的刚体上，附加一个body frame$\{b\}${b}，记为$\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}${x^,y^​,z^}。对于三个轴而言，绕着$\hat \omega$ω^旋转的轨迹为圆。当然，上述坐标轴$\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}${x^,y^​,z^}和$\hat \omega$ω^是在fixed frame$\{S\}${S}坐标系下的，下面将$\hat \omega$ω^记为$\hat \omega_s$ω^s​，

绕着轴$\hat \omega$ω^的角速度为，
$w_s=\hat{w}\dot{\theta} \tag{1}$ws​=w^θ˙(1)
运动的线速度记为$\dot{\hat{x}}$x^˙，三个轴的线速度则为，
$\begin{aligned} \dot{\hat{x}}&=w_s \times \hat{x} \\ \dot{\hat{y}}&=w_s \times \hat{y} \\ \dot{\hat{z}}&=w_s \times \hat{z} \end{aligned} \tag{2}$x^˙y^​˙​z^˙​=ws​×x^=ws​×y^​=ws​×z^​(2)
将三个轴的线速度统一写为，
$\dot{R}= \begin{bmatrix} w_s \times \hat{x} & w_s \times \hat{y} & w_s \times \hat{z} \end{bmatrix}=w_s \times R \tag{3}$R˙=[ws​×x^​ws​×y^​​ws​×z^​]=ws​×R(3)
为了简化公式(3)中的叉乘，特引入了$[]$[]符号，将$w \times R$w×R可以记为矩阵的乘法$[w]R$[w]R，其中$[w]$[w]的定义如下：
对于$\mathbb{R}^3$R3中的向量$x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &x_3\end{bmatrix}$x=[x1​​x2​​x3​​],定义$[x]$[x]为一个反对称矩阵，
$[x]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{array}\right]\tag{4}$[x]=⎣⎡​0x3​−x2​​−x3​0x1​​x2​−x1​0​⎦⎤​(4)
$[x]=-[x]^T \tag{5}$[x]=−[x]T(5)
上述所有$3 \times 3$3×3的反对称矩阵统称为$so(3)$so(3)，小的。前面说过，旋转矩阵属于$SO(3)$SO(3)，大的。下面有一个两者结合起来有趣的性质，假定$r_i^T$riT​为$R$R的第$i$i行，即$r_i$ri​是$R^T$RT的第$i$i列，则
$\begin{aligned} R[w]R^T &= R\begin{bmatrix} w_s\times r_1 & w_s\times r_2 &w_s\times r_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} r_1^{T}(w_s\times r_1) & r_1^T(w_s\times r_2) & r_1^T (w_s\times r_3) \\ r_2^{T}(w_s\times r_1) & r_2^T(w_s\times r_2) & r_2^T (w_s\times r_3) \\ r_3^{T}(w_s\times r_1) & r_3^T(w_s\times r_2) & r_3^T (w_s\times r_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -r_3^Tw_s & r_2^Tw_s\\ r_3^Tw_s & 0 &-r_1^Tw_s\\ -r_2^Tw_s&r_1^Tw_s&0 \end{bmatrix}\\ &=[Rw_s] \end{aligned} \tag{6}$R[w]RT​=R[ws​×r1​​ws​×r2​​ws​×r3​​]=⎣⎡​r1T​(ws​×r1​)r2T​(ws​×r1​)r3T​(ws​×r1​)​r1T​(ws​×r2​)r2T​(ws​×r2​)r3T​(ws​×r2​)​r1T​(ws​×r3​)r2T​(ws​×r3​)r3T​(ws​×r3​)​⎦⎤​=⎣⎡​0r3T​ws​−r2T​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​ws​0​⎦⎤​=[Rws​]​(6)

对于(6)中矩阵中的$r_1^{T}(w_s\times r_2)$r1T​(ws​×r2​)，是三个向量$r_1,w_s,r_2$r1​,ws​,r2​的混合积，也就是三个向量组成的六面体的体积，而我们知道矩阵的行列式的值的物理意义就是体积。根据下面的混合积的图，很容易得到矩阵中对应元素的反对称的关系。

下面我们将三个轴的线速度表示为$[w]$[w]的写法，
$\dot{R}=[w_s]R \tag{7}$R˙=[ws​]R(7)

$[w_s]=\dot{R}R^{-1} \tag{8}$[ws​]=R˙R−1(8)
前面我们提到的所有的向量和$R$R都是在fixed frame$\{S\}${S}下描述的，下面我们将$w_s$ws​在body frame$\{b\}${b}下进行描述，易得，
$w_s=R_{sb}w_b\tag{9}$ws​=Rsb​wb​(9)
则旋转轴在body frame$\{b\}${b}下，
$w_b=R_{sb}^{-1}w_s=R^{-1}w_s=R^{T}w_s \tag{10}$wb​=Rsb−1​ws​=R−1ws​=RTws​(10)
因此可以得到，
$\begin{aligned} [w_b]&=[R^{T}w_s] \\ &= R^T[w_s]R \\ &= R^T(\dot{R}R^{T})R \\ &=R^T\dot{R} \\ &=R^{-1}\dot{R} \end{aligned}\tag{11}$[wb​]​=[RTws​]=RT[ws​]R=RT(R˙RT)R=RTR˙=R−1R˙​(11)

需要注意的是$w_b$wb​是在body frame$\{b\}${b}下的描述，所以它描述的角速度不是一个旋转的坐标系的角速度(例如$\{b\}${b}相对于$\{S\}${S}旋转)，而是在某一瞬时，$w_b$wb​相对于body frame$\{b\}${b}的旋转。

2. 微分方程的解

给定下面一个简单的线性微分方程，其中$x(t) \in \mathbb{R}$x(t)∈R，$a \in \mathbb{R}$a∈R，初始状态$x(t) =x(0)$x(t)=x(0)，
$\dot x(t)=ax(t) \tag{12}$x˙(t)=ax(t)(12)
易得上述的解为，
$x(t)=e^{at}x(0) \tag{13}$x(t)=eatx(0)(13)
对$e^{at}$eat在$0$0附近进行泰勒展开，可得，
$e^{a t}=1+a t+\frac{(a t)^{2}}{2 !}+\frac{(a t)^{3}}{3 !}+\cdots \tag{14}$eat=1+at+2!(at)2​+3!(at)3​+⋯(14)
同理，当$a$a为矩阵$A$A时，$x(t)$x(t)为列向量，
$\dot x(t)=Ax(t) \tag{15}$x˙(t)=Ax(t)(15)
可得解为,
$x(t)=e^{At}x(0) \tag{16}$x(t)=eAtx(0)(16)
其中，
$e^{A t}=1+A t+\frac{(A t)^{2}}{2 !}+\frac{(A t)^{3}}{3 !}+\cdots \tag{17}$eAt=1+At+2!(At)2​+3!(At)3​+⋯(17)

3. 指数形式的旋转

任何旋转，都可以用一个旋转轴$\hat \omega$ω^和一个旋转角$\theta$θ来描述。其中$\hat \omega \in \mathbb{R^3},\Vert{\hat \omega}\Vert=1$ω^∈R3,∥ω^∥=1，$\theta \in \mathbb{R^3}$θ∈R3。
下面我们来分析如何利用一根旋转轴和旋转角来描述旋转，

假设向量$p(t)$p(t)从$p(0)$p(0)绕着$\hat{\omega}$ω^以恒定的角速度$1rad/s$1rad/s旋转了$\theta$θ秒，最终到$p(\theta)$p(θ)，定义$p(t)$p(t)间断的线速度为，
$\dot{p}= \hat{\omega} \times p \tag{18}$p˙​=ω^×p(18)
由前面的分析，引入$[\hat{\omega}]$[ω^]，则
$\dot{p}= [\hat{\omega}] p \tag{19}$p˙​=[ω^]p(19)
该微分方程如前面介绍为，
$p(t)=e^{[\hat{\omega}] t} p(0) \tag{20}$p(t)=e[ω^]tp(0)(20)

则，
$p(\theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta} p(0) \tag{21}$p(θ)=e[ω^]θp(0)(21)

容易得到$[\hat{\omega}]$[ω^]两个计算性质，如下，
$[\hat{\omega}][\hat{\omega}]=\hat{\omega}\hat{\omega}^{T}-I \tag{22}$[ω^][ω^]=ω^ω^T−I(22)

$[\hat{\omega}][\hat{\omega}][\hat{\omega}]= [\hat{\omega}]^{3}=-[\hat{\omega}] \tag{23}$[ω^][ω^][ω^]=[ω^]3=−[ω^](23)
所以公式21可以化简为，
$\begin{aligned} e^{[\hat{\omega}] \theta} &=I+[\hat{\omega}] \theta+[\hat{\omega}]^{2} \frac{\theta^{2}}{2 !}+[\hat{\omega}]^{3} \frac{\theta^{3}}{3 !}+\cdots \\ &=I+\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\frac{\theta^{5}}{5 !}-\cdots\right)[\hat{\omega}]+\left(\frac{\theta^{2}}{2 !}-\frac{\theta^{4}}{4 !}+\frac{\theta^{6}}{6 !}-\cdots\right)[\hat{\omega}]^{2} \\ &= I+sin(\theta)[\hat{\omega}]+(1-cos(\theta))[\hat{\omega}]^{2} \end{aligned} \tag{24}$e[ω^]θ​=I+[ω^]θ+[ω^]22!θ2​+[ω^]33!θ3​+⋯=I+(θ−3!θ3​+5!θ5​−⋯)[ω^]+(2!θ2​−4!θ4​+6!θ6​−⋯)[ω^]2=I+sin(θ)[ω^]+(1−cos(θ))[ω^]2​(24)
上式就是著名的罗德里格斯公式，即指数形式的旋转，
$\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta}=I+\sin \theta[\hat{\omega}]+(1-\cos \theta)[\hat{\omega}]^{2} \in S O(3) \tag{25}$Rot(ω^,θ)=e[ω^]θ=I+sinθ[ω^]+(1−cosθ)[ω^]2∈SO(3)(25)
经过指数映射，将$s o(3)$so(3)和旋转的角度$\theta$θ通过指数映射为$S O(3)$SO(3)，即三维的旋转矩阵。

在前面文章中介绍过，旋转矩阵左乘和右乘的区别，这里也是类似的，假设body frame$\{b\}${b}在fixed frame$\{S\}${S}中的描述为$R_{sb}$Rsb​，则$\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)R_{sb}$Rot(ω^,θ)Rsb​，左乘，表示将$R_{sb}$Rsb​顺着$\{S\}${S}中的$\hat{\omega}$ω^旋转$\theta$θ。而$R_{sb}\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)$Rsb​Rot(ω^,θ)，右乘，表示将$R_{sb}$Rsb​顺着$\{b\}${b}中的$\hat{\omega}$ω^旋转$\theta$θ。

4. 旋转矩阵的对数

上面描述的是从$\hat{\omega}\theta$ω^θ到旋转矩阵$R$R的过程，下面介绍从旋转矩阵$R$R求$\hat{\omega}\theta$ω^θ的过程，也就是求得旋转向量和具体的旋转角度，求$R$R矩阵的“对数”。可以将两个对应的过程描述成下面的形式，

$\begin{array}{cll} \exp : & [\hat{\omega}] \theta \in s o(3) & \rightarrow & R \in S O(3) \\ \log : & R \in S O(3) & \rightarrow & [\hat{\omega}] \theta \in \operatorname{so}(3) \end{array}$exp:log:​[ω^]θ∈so(3)R∈SO(3)​→→​R∈SO(3)[ω^]θ∈so(3)​

下面将公式(25)展开，如下，
$\left[\begin{array}{ccc} c_{\theta}+\hat{\omega}_{1}^{2}\left(1-c_{\theta}\right) & \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2}\left(1-c_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{3} \mathrm{s}_{\theta} & \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3}\left(1-c_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{2} \mathrm{s}_{\theta} \\ \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{3} \mathrm{S}_{\theta} & c_{\theta}+\hat{\omega}_{2}^{2}\left(1-c_{\theta}\right) & \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{1} \mathrm{s}_{\theta} \\ \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{2} \mathrm{S}_{\theta} & \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{1} \mathrm{s}_{\theta} & \mathrm{c}_{\theta}+\hat{\omega}_{3}^{2}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right) \end{array}\right] \tag{26}$⎣⎡​cθ​+ω^12​(1−cθ​)ω^1​ω^2​(1−cθ​)+ω^3​Sθ​ω^1​ω^3​(1−cθ​)−ω^2​Sθ​​ω^1​ω^2​(1−cθ​)−ω^3​sθ​cθ​+ω^22​(1−cθ​)ω^2​ω^3​(1−cθ​)+ω^1​sθ​​ω^1​ω^3​(1−cθ​)+ω^2​sθ​ω^2​ω^3​(1−cθ​)−ω^1​sθ​cθ​+ω^32​(1−cθ​)​⎦⎤​(26)
其中，$\hat{\omega} = \begin{bmatrix} \hat{w_1} \\ \hat{w_2} \\ \hat{w_3} \end{bmatrix}$ω^=⎣⎡​w1​^​w2​^​w3​^​​⎦⎤​，$\mathrm{c}_{\theta}=cos(\theta)$cθ​=cos(θ)，$\mathrm{s}_{\theta}=sin(\theta)$sθ​=sin(θ)。
记旋转矩阵$R$R为$r_{ij}$rij​，则可以得到，
$\begin{aligned} r_{32}-r_{23}&=2 \hat{\omega}_{1}sin(\theta) \\ r_{13}-r_{31}&=2 \hat{\omega}_{2}sin(\theta) \\ r_{21}-r_{12}&=2 \hat{\omega}_{3}sin(\theta) \end{aligned} \tag{27}$r32​−r23​r13​−r31​r21​−r12​​=2ω^1​sin(θ)=2ω^2​sin(θ)=2ω^3​sin(θ)​(27)
上式在$sin(\theta)\ne 0$sin(θ)​=0的情况下，可以得到，
$\begin{aligned} \hat{\omega}_{1}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{32}-r_{23}) \\ \hat{\omega}_{2}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{13}-r_{31}) \\ \hat{\omega}_{3}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{21}-r_{12}) \end{aligned} \tag{28}$ω^1​=2sin(θ)1​(r32​−r23​)ω^2​=2sin(θ)1​(r13​−r31​)ω^3​=2sin(θ)1​(r21​−r12​)​(28)
上式也可以写成，
$[\hat{\omega}]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\hat{\omega}_{3} & \hat{\omega}_{2} \\ \hat{\omega}_{3} & 0 & -\hat{\omega}_{1} \\ -\hat{\omega}_{2} & \hat{\omega}_{1} & 0 \end{array}\right]=\frac{1}{2 \sin \theta}\left(R-R^{\mathrm{T}}\right) \tag{29}$[ω^]=⎣⎡​0ω^3​−ω^2​​−ω^3​0ω^1​​ω^2​−ω^1​0​⎦⎤​=2sinθ1​(R−RT)(29)

此外，由式(26)可以得到另外一个计算$\theta$θ的公式，
$\operatorname{tr} R=r_{11}+r_{22}+r_{33}=1+2 \cos \theta \tag{30}$trR=r11​+r22​+r33​=1+2cosθ(30)
至此，$sin(\theta)\ne 0$sin(θ)​=0的情况下，利用旋转矩阵$R$R，我们计算出了$\hat{\omega}$ω^和$\theta$θ。接下来讨论$sin(\theta) = 0$sin(θ)=0的情况：

1. 当$\theta=k\pi$θ=kπ，且$k$k是偶数的情况下，此时相当于没有旋转，回到了原位置，$R=I$R=I；
2. 当$\theta=k\pi$θ=kπ，且$k$k是奇数的情况下，此时有，
   $R=e^{[\hat{\omega}] \pi}=I+2[\hat{\omega}]^{2} \tag{31}$R=e[ω^]π=I+2[ω^]2(31)
   因为式(31)三个矩阵都是对角矩阵，所以可以得到下面的结果(利用$R$R对角元素)
   $\hat{\omega}_{i}=\pm \sqrt{\frac{r_{i i}+1}{2}}, \quad i=1,2,3 \tag{32}$ω^i​=±2rii​+1​​,i=1,2,3(32)
   利用$R$R非对角元素，可得，
   $\begin{aligned} 2 \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2} &=r_{12} \\ 2 \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3} &=r_{23} \\ 2 \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3} &=r_{13} \end{aligned} \tag{33}$2ω^1​ω^2​2ω^2​ω^3​2ω^1​ω^3​​=r12​=r23​=r13​​(33)
   利用式(32)和式(33)我们就能计算出$\hat{\omega}$ω^，同时此时旋转的角为$\theta=\pm \pi, \pm 3 \pi, \ldots$θ=±π,±3π,…。
   从上面的计算过程很容易看出来，旋转角度是以$2\pi$2π为周期，其实也是符合物理意义的，旋转$\pi$π和旋转$3\pi$3π的效果是一样的，因此我们可以将旋转的角度限定在$[-\pi,\pi]$[−π,π]。此时计算的$\hat{\omega}\theta$ω^θ的长度是$\le\pi$≤π的。因此我们可以把$S O (3)$SO(3)想象为一个半径为$\pi$π的实心球，如下图所示，

当给定球中的一点$r\in\mathbb{R}^3$r∈R3，我们可以将$\hat{\omega}=\frac{r}{\Vert r\Vert}$ω^=∥r∥r​作为单位长度的旋转轴，$\Vert r\Vert$∥r∥作为$\theta$θ。和$r$r相对应的旋转矩阵$R$R可以被看作是绕着$\hat{\omega}$ω^旋转了$\theta$θ角。对于$R\in SO(3)$R∈SO(3)，同时$trR \ne -1$trR​=−1，此时在实心球中总能找到一个唯一的$r$r，使得$e^{[r]}=R$e[r]=R。当$trR = -1$trR=−1时，此时$\Vert r\Vert=\pi$∥r∥=π，在实心球的表面有一对正好相反的一对点，两者的效果是一样的，$r$r和$-r$−r都对应了同一个$R$R。