傅立叶变换

都起开起开！看民科小王子如何用小学数学知识给你们讲明白什么叫傅里叶变换！不懂频域时域？我们换个词，长和宽总看得懂了吧！不懂函数空间？长方形总可以理解吧！什么是傅里叶变换，那就是高级一点的乘法交换律！

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OK，这是一个矩形，我们记长为a=4，宽为b=3，要计算这个矩形的面积（不准用小学二年级以上的数学），你们会怎么做？
有三种方法：
1、一个一个数：1+1+1……=12
2、按行分解成三行：4+4+4=12
3、按列分解成四列：3+3+3+3=12是不是很简单？我们进阶一点，按行分解成好多好多行，按列分解成好多好多列……
<img src="https://pic3.zhimg.com/50/ded3ee1754d34a734df267c92f95cbc7_hd.jpg" data-rawwidth="549" data-rawheight="421" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="549" data-original="https://pic3.zhimg.com/ded3ee1754d34a734df267c92f95cbc7_r.jpg">

还是刚才那个矩形！（读者众：明明不一样大！答主：朕说一样大就一样大！）现在每小格边长变成了0.2，长度变为20格，宽度15格，此时一列的总面积变成了0.2×0.2=0.04，每列的面积变为0.04×15=0.6，每行面积为0.04×20=0.8，还用刚才的方法计算面积，
S=0.6+0.6+……（20个0.6）……=12
或S=0.8+0.8+……（15个0.8）……=12
以及……S=0.04+0.04+……（300个）……=12聪明的你一定发现了，如果我们将小方格越分越细，那就变成了最简单的定积分了！而这三种方法也就变成了如下三种形式：
以长边积分：
以宽边积分：

以及一个一个数……
回到我们的20格×15格的矩形，现在我们不是单纯的算面积，我们给每个格子里填入一些数字，让它变成一个矩阵<img src="https://pic1.zhimg.com/50/c70bd5561a9892a0db52fb7d186ae105_hd.jpg" data-rawwidth="538" data-rawheight="409" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="538" data-original="https://pic1.zhimg.com/c70bd5561a9892a0db52fb7d186ae105_r.jpg">

想要计算这个矩阵所有数字的和，怎么办？还跟以前一样，我们可以把每列数字加起来，做成一个20元素的数列An，然后相加，或者把每行数字加起来，做成15元素的数列Bn，再相加或者依然一个一个加……这三个值肯定是相等的。如果把这个矩阵越分越细，就逐渐变为一个定义在矩形范围内的二元函数<img src="https://pic3.zhimg.com/50/22343983d237cd6953468948435482cc_hd.jpg" data-rawwidth="1201" data-rawheight="900" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1201" data-original="https://pic3.zhimg.com/22343983d237cd6953468948435482cc_r.jpg">

设这个函数的为f(a,b)，想要计算这个函数在定义域上的积分，依然可以沿用上面的方法：先对b积分，则整个函数变成一个关于a的一元函数

对b也一样
，（其中α，β为b的定义域，下同）则必然满足
下面该说傅里叶变换了。没学过信号，我就用量子力学举例吧。比如一个波函数
当t=0的时候就变成了

看不懂没关系，你只要知道这就是一个关于x与p的二元函数，如何计算它？跟上面一样，先对p积分，就得到一个关于x的一元函数，先对x积分，就得到一个关于p的一元函数，这两个函数在定义域上的积分必然相等于是我们得到：（注意这里定义域变成了正负无穷，也就是全实数域）

他们俩在各自定义域上的积分也必然是相等的，等于原二元函数在全定义域的积分，记为
我们长方形的长宽ab,在这里也有了一个高大上的名字，坐标空间x和动量空间p。
关键部分来了：可以看到，在各自空间内，函数的值已经与另一个参数无关了，中只含x，中也只含p。现在你大概可以明白坐标空间（类似信号中的时域）与动量空间（类似信号中的频域）的含义了吧？所谓求坐标空间的波函数，即当坐标参数等于某个值时，把该位置上所有可能的动量积分；而所谓求动量空间波函数，即取动量为某个定值，然后将具有该动量的所有位置参数进行积分，这种积分方式其实也就是开头所写的计算长方形面积的方式。这也就是为什么答主看到傅里叶变换的时候第一个想到的就是乘法交换律。
那傅里叶变换都是用来干嘛的呢？在通常情况下，我们并不能同时得到位置、动量两个空间的方程，可能只有其中一个，这时候，通过傅里叶变换就可以求出另一空间的方程。比如我们得到了，如何用它求？前面已经说过，所谓坐标空间波动方程不过是在某个确定的位置将所有可能的p取值的平面波相叠加，而不同p的取值则对应不同的系数。若p是离散的，方程写作
若p的取值越发密集，上式逐渐形似积分形式，系数Cn变为连续函数，数列写作如下形式

这两个方程代表了在坐标表象波函数里，每一个空间点对应的取值并不简简单单是一个值，而是后面跟了一长串不同的p所对应的函数值，即，因此我们便可以通过一定手段将每个坐标点上不同的p值取出来。也因为它们是波函数，即使被积分了，p的信息也蕴含在坐标空间x的函数里。回头看波函数，它是什么意思？意味着xp平面上每个点的函数值都是由A个叠加而成的，A是个跟x,p都相关的系数。而整个xp平面非常像一个密集的矩阵。
我们研究一下这个东西它有什么特点。
当且仅当k=0的时候积分才不为0，并且，利用这个性质，我们将乘入，此时，坐标空间函数变成了

接着对x进行积分，那么只有的点在积分中会被体现出来，也就意味着在一连串中，具有给定p值的函数值被“挑”出来了。

回头看开头的乘法交换律，答主特地在开头提到它，其实是因为它与傅里叶变换一样体现了一个“挑”的思想，即挑出特定的数字重新组合。大家回想一下小时候是怎么证明整数乘法交换律的？四组三个苹果相加，为什么就等于三组四个苹果相加？很简单，以四组三个苹果为例，我们可以在每组里给苹果标上号，分别标1，2，3，然后将每组1号苹果挑出来，相同的号码重新编为一组，正好是三组，每组四个。傅里叶变换能够挑出特定频率波函数，也正是体现了这种思想。

经过计算可写成如下形式：

经简单整理之后动量空间与坐标空间波函数可作如下互相转换：

同理

至于与其实并没有太大区别；只有当想要把变过来的函数变回去时，波函数的相位必须相反，才需要区分正负。
感谢大家的鼓励与批评，事实上答主在提笔的时候并没有对这个问题想太多，一开始觉得很简单，真以为自己能用小学知识解释清楚，写到后面才发现还是有难点绕不开的，尤其是如何通俗地解释波函数正交归一性。答主写作的动机主要想把自己学习过程中最激动的那个时刻分享给大家，也就是偶然想到傅里叶变换与乘法交换律在内涵上的相似性。后面专业内容答主也没有自信写得比书本还好，大家若有兴趣，可以阅读专业书籍，当然若愿意与答主继续交流，答主也会非常高兴。