计算机图形学十四:基于物理渲染的基础知识(辐射度量学,BRDF和渲染方程)
基于物理渲染的基础知识
摘要
本篇文章将会从基于物理渲染(PBR)的动机开始讲起,逐步介绍PBR相关的基础知识,如辐射度量学(怎么用物理量精确的描述光线),以及通过辐射度量学从而定义出来的BRDF(Bidirectional Reflectance Distribution Function),最后会给出著名渲染方程,以及它直观的物理解释,帮助理解。
1 为什么需要辐射度量学?
首先,想一想到目前为止我们对光线亮度的定义是什么?只是简单的用3维(R,G,B)向量来描述,但却没有任何的单位,如果想要一个完全正确的模型,这显然是不应该的,必须用合适的物理量来描述光线!
其次,考虑在前两篇文章中提到的whited-style光线追踪模型,它真的是一个正确的模型吗?显然不是,原因如下:
1 whited-style光线追踪并没有对漫反射的光线进行追踪,而是直接返回当前着色点颜色
2 在计算光源直接照射的贡献时,使用了Blinn-Phong模型,而Blinn-Phong模型本身就是一个不准确的经验模型,使用的这种模型的whited-style光线追踪自身自然也是不正确的
而就以上的各种缺点而言,所有的问题都能在辐射度量学之中得到完美解决!
2 辐射度量学
辐射度量学其实是对光照的一套测量系统和单位,它能够准确的描述光线的物理性质。
具体来说,我们需要明白的是其中的几个关于光线概念,分别为:
辐射能量(Radiant energy),辐射通量(Radiant flux),辐射强度(Radiant intensity),irradiance,radiance,(对后两种概念没有合适的中文,所以就直接用英文了),接下来就对这些概念进行具体解释。
2.1 辐射能量(Radiant energy)和辐射通量(Radiant flux)
首先看一看Radiant energy的定义:
所谓辐射能量其实非常直观,就是辐射出来的电磁能量,单位为焦耳。可以用物理当中的做功的大小来进行类比。
接下来是Radiant flux(power):
所谓辐射通量或者说辐射功率,其实就是在辐射能量的基础之上除以时间,也就是单位时间的能量。同样也可以用物理当中的功率来进行类比。
(tips: 具体来说一般偏向用radiant flux来衡量光线的亮度,因为我们更关心的是单位时间的效果,事实上也是这么做的,想想在说白炽灯泡的时候也是说60W亮度,80W亮度)
2.2 辐射强度(Radiant intensity)
在进行具体的数学定义之前,先借助如下一张图建立对剩下3个概念的一些直观的理解:
1 Radiant itensity其实就是指从一个光源出发某一方向上的亮度
2 Irradiance指某一微小平面所接受到的光线亮度
3 radiance衡量的是一条传播光线所具有的亮度(不受传播方向影响)
(这里的亮度也可以理解为radiant flux(power)。)
好了,接下来首先看Radiant intensity的数学定义:
Radiant intensity一句话来说就是从光源发出的每单位立体角上的功率,关于辐射功率的定义在上文已经解释,这里唯一还不知道的就是立体角(solid angle)了。
solid angle其实就是对应二维空间中圆的弧度在三维空间中球上的拓展。
首先看在二维计算弧度公式如下:
即 (至于为什么这么算,中学知识这里就不展开了。)
那么对应在三维上的球的弧度(立体角),只需进行一个简单的扩展如下:
即立体角度所对应球上的投影面积比上半径的平方,整个球的立体角为。
那么对于Radiant intensity的定义当中,微分立体角计算如下:
首先确定空间中一个方向(通过),在这两个角度上分别增加一个微分值,则可以计算出如图中所示的对应到球上的投影面积。其中就是微分面积元的高,是微分面积元的宽,二者相乘,自然就是面积了,再根据立体角的定义除以 即可得到微分立体角了。
在此还可以验证下,对在整个球上积分:
与之前所讲的球的立体角为一致。
tips:
注意在计算微分立体角之前,我们其实选定了空间当中的一个方向(由所确定),称这个方向为,然后才在此基础之上分别对增加经计算得到最终的,因此Radiant intensity的物理含义此时就很清楚了,为光源向某一方向所发射出的单位立体角的功率,简而言之就是光源在某个方向上的亮度如何!
最后举一个对各向同性点光源计算Radiant intensity的例子:
因为各项同性点光源所有方向上的亮度都与方向无关,因此立体角可以直接积分出来为,最终计算得。
(如果不是各项同性的话这里的应该为一个关于方向的的函数)
以上就已经详细介绍完了关于Radiant intensity的定义,接下来给出irradiance的数学定义
2.3 irradiance
同样用一句话来说,irradiance是指每单位照射面积所接收到的power,单位如图中所示。
借助于irradiance,可以很轻松的解释在Blinn-Phong所提到的Lambert’s Law,即光线亮度需要乘上一个,如下图所示:
当光线垂直照射平面时,如上图左边所示,照射到平面上的面积与光线本身的“宽度一致”。但当光线斜着照射到平面时,此时的照射面积就不再是光线本身的“宽度”了,具体来说此时的照射面积。
那么针对右边情况的irradiance的计算就应该为:
,相对于多了一个。
而这其实也就解释了Lambert’s Law要乘以一个的原因了。
此外,回想也是在Blinn-Phong模型所提到的光线越远会越加衰减:
该现象也完全可以用irradiance解释,因为光的功率始终一致,离点光源所照射到的圆球面积也就越大,因此根据irradiance的式子,分母的面积值也就越大,irradiance也就越小。
2.4 radiance
最后,我们终于来到了最后一条概念了,这条概念也是所有辐射度量学的概念当中最为重要的一个,那么首先直接就来看他的数学定义是怎么样的:
用一句话概述的话,所谓radiance就是指每单位立体角,每单位垂直面积的功率,直观来看的话,很像是Intensity和irradiance的结合。它同时指定了光的方向与照射到的表面所接受到的亮度。
但这里有一个细微的区别,在irradiance中定义的每单位照射面积,而在radiance当中,为了更好的使其成为描述一条光线传播中的亮度,且在传播过程当中大小不随方向改变,所以在定义中关于接收面积的部分是每单位垂直面积,而这一点的不同也正解释了图中式子分母上的,具体可以观察如下图:
即图中的是irradiance中定义所对应的,而才是radiance中所定义的面积。二者之间的关系为。
(以上各项定义确实比较绕,我在闫老师的讲解上又去借鉴了PBR书中的定义,对这些概念加以了自己的解释,希望能对大家有帮助!)
好了,在理解了radiance和irradiance的定义之后,再讨论讨论它们之间的关系,通过二者的定义式子,不难得出如下结果:
进一步推导得到:
观察一下积分后的式子,就是点p的irradiance,其物理含义是上文所提到过的点p上每单位照射面积的功率,而指入射光每立体角,每垂直面积的功率,因此积分式子右边的解释了面积上定义的差异,而对积分,则是相当于对所有不同角度的入射光线做一个求和,那么该积分式子的物理含义便是,一个点(微分面积元)所接收到的亮度(irradiance),由所有不同方向的入射光线亮度(radiance)共同贡献得到。
3 双向反射分布函数(BRDF)
通过上述所有辐射度量学各种概念的定义之后,我们可以从这样一个角度理解光线的反射,如下图所示:
一个点(微分面积元)在接受到一定方向上的亮度()之后,再向不同方向把能量辐射出去()
直观的理解,不同物体表面材质自然会把一定方向上的入射亮度(反射到不同的方向的光线上(),如理想光滑表面会把入射光线完全反射到镜面反射方向,其它方向则完全没有。如理想粗糙表面会把入射光线均匀的反射到所有方向。因此所谓BRDF就是描述这样一个从不同方向入射之后,反射光线分布情况的函数,定义如下:
上图中下方的式子即为BRDF,它就收两个参数入射光方向,反射光方向,函数值为反射光的radiance与入射光的iiradiance的比值。
借助BRDF,可以定义出反射方程如下:
即摄像机所接受到的方向上的反射光,是由所有不同方向上入射光线的irradiance贡献得到的(图中式子的),而不同方向入射光线的irradiance对反射方向的贡献程度则由物体表面材质决定,所以乘上了一个BRDF函数。
到这里,通过辐射度量学,以及BRDF最终得到的反射方程正是一个完全正确的光照模型了,解决了在第一章提到的现有模型的所有缺点!(渲染方程只是在反射方程的基础之上加了一个自发光项,关于渲染方程会在下一章仔细去了解)。
在进入到渲染方程之前,再仔细观察一下反射方程:
不难发现正如上图中所说的,入射光线的radiance不仅仅是光源所造成,还有可能是其他物体上着色点的反射光线的radiance,恰好反射到当前的着色点p,而其他物体上的反射光线的radiance依然也是这么个情况,没错!这与whitted-style当中的光线追踪过程十分类似,也是一个递归的过程。所以说想要解这样一个方程还是比较难的。
接下来,在最后一章我们会引入渲染方程,并对渲染方程做一些直观上的物理解释,对于反射方程或者说是渲染方程的具体求解,留在下一篇文章里面去说。
4 渲染方程及其物理含义解释
正如在上一节中提到的,渲染方程知识在反射方程的基础之上添加了一个自发光项(Emission term),从而使得反射方程更加的general:
其中为自发光项,反射方程中的用,代替。
(tips:所有光线方向均指向外)
接下来从一个点光源和单个物体的场景开始理解渲染方程:
(点光源对一个点来说自然只有一个方向有入射光,所以这里没有了积分)
多个点光源一个物体的情况:
将这些所有的点光源的贡献全部求和即可,那么如果点光源变成了面光源呢?如下图所示:
其实面光源就相当于无穷多个点光源的集合,只需要对 面光源所在的立体角范围进行积分,并且能够确定不同立体角方向的面光源的入射光radiance即可。
那么更进一步的,再在场景当中加入其它物体,使得物体之间发生光线交互之后是什么情况呢:
如上图所示,可以把其它物体同样考虑成面光源,对其所占立体角进行积分即可,只不过对其它物体的立体角积分不像是面光源所有入射方向都有radiance,物体的立体角可能只有个别几个方向有入射的radiance(即多次物体间光线反射之后恰好照射到着色点x),其它方向没有,但本质上都可以视作是面光源。
观察一下图中的渲染方程可以发现除了两个radiance,其它所有项都是知道的,可以将上式进一步写成如下图下方所示的式子:
其中各项与原渲染方程中一一对应,(这里其实是有数学严格推导的,不过我们只是为了接下来构建直观的物理解释,对于这些推导不必在意,默认成立即可),再接着,可以把该式子离散化写为线性代数的形式:
呼,经过两步我们不是很清楚但其实是正确的数学推导之后(后面不会有让读者直接默认的数学推导了!),得到了这样一个式子:
其中L其实就是想要求得的反射光,E是自发光其实就是光源的发光项,K可以理解为对光线进行反射的一种算子操作。那么利用线性代数的知识很容易就可以推导出L的结果如下:
其中为单位矩阵,再接着对使用广义二项式定理得到:
仔细观察这个式子,注意E是光源所发出的光,K为反射算子,这样一个式子的物理含义如下图所示:
E为光源发出的光,KE则代表对光源反射一次的结果,即直接光照,那么前两项之和就是光栅化当中着色所考虑的结果,对于全局光照来说,还考虑了,即一次弹射的间接照明,就是两次弹射的间接照明,依次类推。
这样来看整个结果是不是就很清晰了,就是光源发光加上直接光照与多次间接光照的结果!而这一切都是从渲染方程推导而来的,因此这也正是渲染方程的物理意义!
最后以几张基于物理渲染的图片作为本篇文章的结束
一次反射直接光照:
两次反射,考虑到一次弹射的间接光照:
3次反射,考虑到两次弹射的间接光照:
(考虑次数越多越接近真实图片效果,趋近收敛)
总结
以上就是所有的关于PBR的一些相关基础知识了,我们从辐射度量学入手,掌握了正确衡量光线属性的方法,由此定义出了BRDF,来表示物体的材质,即它对于光线的反射能量分布,最后结合辐射度量学与BRDF得到渲染方程,一个个真正完全正确的光照模型!
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Reference
[1] GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
[2] Fundamentals of Computer Graphics 4th
[3] Physically Based Rendering, Second Edition: From Theory To Implementation, Fifth Chapter