【数学】三角形内接平行四边形问题

$\Huge\textsf{三角形内接平行四边形问题}$三角形内接平行四边形问题

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如图，$\triangle$△ABC中有平行四边形DECF，

设$S_{\triangle ADE}=S_1,\;S_{\triangle BDF}=S_2,\;$S△ADE​=S1​,S△BDF​=S2​,

求证：$1.S_{\triangle ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2;\;2.S_{DECF}=2\sqrt{S_1S_2}.$1.S△ABC​=(S1​​+S2​​)2;2.SDECF​=2S1​S2​​.

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$\textsf{证：}$证：

$(1) \because DE \parallel BC$(1)∵DE∥BC

$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC$∴△ADE∼△ABC

$\therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD^2}{AB^2}$∴S△ABC​S△ADE​​=AB2AD2​

$\textsf{即}\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{AD}{AB}$即S△ABC​​S1​​​=ABAD​①

$\textsf{同理}\triangle BDF \sim \triangle BAC ,\;\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{BD}{AB}$同理△BDF∼△BAC,S△ABC​​S2​​​=ABBD​②

①+②$\textsf{得}\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{AD+BD}{AB}$得S△ABC​​S1​​+S2​​​=ABAD+BD​

$\textsf{又}\because AD+BD =AB$又∵AD+BD=AB

$\therefore \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}=\sqrt{S_{\triangle ABC}},$∴S1​​+S2​​=S△ABC​​,

$(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2=S_{\triangle ABC}.$(S1​​+S2​​)2=S△ABC​.

$\textsf{得证。}$得证。

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$(2)S_{DECF}=S_{\triangle ABC}-S_1-S_2$(2)SDECF​=S△ABC​−S1​−S2​

$=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2-S_1-S_2$=(S1​​+S2​​)2−S1​−S2​

$=S_1+2\sqrt{S_1S_2}+S_2-S_1-S_2$=S1​+2S1​S2​​+S2​−S1​−S2​

$=2\sqrt{S_1S_2}$=2S1​S2​​.

$\textsf{得证。}$得证。

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别急，没完呢。

如图，$\triangle$△ABC中有平行四边形DEFG，

设$S_{\triangle ADE}=S_1,\;S_{\triangle BDG}=S_2,\;S_{\triangle CEF}=S_3,\;$S△ADE​=S1​,S△BDG​=S2​,S△CEF​=S3​,

求证：$1.S_{\triangle ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2+S_3})^2;\;2.S_{DEFG}\le S_1+S_2+S_3.$1.S△ABC​=(S1​​+S2​+S3​​)2;2.SDEFG​≤S1​+S2​+S3​.

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$\textsf{其实这题和上一道题是同一题！}$其实这题和上一道题是同一题！

$\textsf{我们只要把}\triangle CEF\textsf{向左平移：}$我们只要把△CEF向左平移：

$\textsf{就出来了。}$就出来了。

$\textsf{第一问同理，不多说。}$第一问同理，不多说。

$\textsf{至于第二问，我们有上一问的结论：}S_{DECF}=2\sqrt{S_1S_2}$至于第二问，我们有上一问的结论：SDECF​=2S1​S2​​

$\textsf{那么到了这一问就是}S_{DECF}=2\sqrt{S_1(S_2+S_3)}$那么到了这一问就是SDECF​=2S1​(S2​+S3​)​

$\textsf{而众所周知}2\sqrt{ab}\leq a+b\tiny\textsf{（不知道的自行百度“均值不等式”）}$而众所周知2ab​≤a+b（不知道的自行百度“均值不等式”）

$\therefore 2\sqrt{S_1(S_2+S_3)}\leq S_1+S_2+S_3$∴2S1​(S2​+S3​)​≤S1​+S2​+S3​

$\textsf{即}S_{DEFG}\le S_1+S_2+S_3.$即SDEFG​≤S1​+S2​+S3​.

从此考试中此类题型的填空选择口算啦awa

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附录：

1.画图软件：Desmos
（ 几何区 ）

2.参考资料：暂时没在网络上找到相应资料

3.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）