内容概述

本节先从矩阵方程引入了向量变换的一系列概念，接着以矩阵变换为例，探讨了引入向量变换概念后，一些思考问题的新角度以及和之前章节一些概念的结合。最后，由矩阵变换的性质引入了一类比较重要的变换：线性变换，并探讨了线性变换的性质和几个线性变换的例子。

变换的概念

矩阵方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol b$Ax=b：
在线性代数中的应用不仅仅是直接与向量的线性组合问题有关，通常的情况是把矩阵$A$A当作一种对象，它通过乘法“作用”于向量$\boldsymbol x$x，产生的新向量称为$A\boldsymbol x$Ax。
例：
参考下面的方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol b$Ax=b：
$\begin{bmatrix}4 & -3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ 8\end{bmatrix}$[42​−30​15​31​]⎣⎢⎢⎡​1111​⎦⎥⎥⎤​=[58​]
和下面的方程$A\boldsymbol u = \boldsymbol 0$Au=0：
$\begin{bmatrix}4 & -3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$[42​−30​15​31​]⎣⎢⎢⎡​14−13​⎦⎥⎥⎤​=[00​]
乘以矩阵$A$A后，将$\boldsymbol x$x变成$\boldsymbol b$b，将$\boldsymbol u$u变成$\boldsymbol 0$0

由这个新观点，解方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol b$Ax=b就是要求出$\mathbb R^4$R4中所有经过乘以$A$A的“作用”后，变为$\mathbb R^2$R2中$\boldsymbol b$b的向量的$\boldsymbol x$x。

由$\boldsymbol x$x到$A\boldsymbol x$Ax对应由一个向量集到另一个向量集的函数。这个概念推广了通常的函数概念。

由$\mathbb R^n$Rn到$\mathbb R^m$Rm的一个变换$\boldsymbol T$T是一个规则，它把$\mathbb R^n$Rn中每个向量$\boldsymbol x$x对应以$\mathbb R^m$Rm中的一个向量$\boldsymbol T(\boldsymbol x)$T(x)。集$\mathbb R^n$Rn称为$\boldsymbol T$T的定义域，而$\mathbb R^m$Rm称为$\boldsymbol T$T的余定义域。符号$\boldsymbol T: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$T:Rn→Rm说明$\boldsymbol T$T的定义域是$\mathbb R^n$Rn而余定义域是$\mathbb R^m$Rm。对于$\mathbb R^n$Rn中的向量$\boldsymbol x$x，$\mathbb R^m$Rm中向量$\boldsymbol T(\boldsymbol x)$T(x)称为$\boldsymbol x$x（在$\boldsymbol T$T作用下）的像。所有像$\boldsymbol T(\boldsymbol x)$T(x)的集合称为$\boldsymbol T$T的值域。

这里要注意余定义域和值域的区别：

余定义域仅仅说明了定义域中$\boldsymbol x$x的像存在于哪个空间，而值域则说明了$\boldsymbol x$x的像的具体的取值范围。从这个意义上来说，值域一定是余定义域的子集。

这里引入了向量变换的重要概念，至于变换的类型和性质，则由下文继续深入。

矩阵变换

对于一个$m \times n$m×n的矩阵$A$A，将矩阵变换$A\boldsymbol x$Ax记为$\boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol x$x→Ax。需要注意的是，根据矩阵运算的法则，上述变换$\boldsymbol T$T的定义域为$\mathbb R^n$Rn（$A$A有$n$n列意味着有$n$n个未知数，说明$\boldsymbol x$x属于$\mathbb R^n$Rn），余定义域为$\mathbb R^m$Rm（$A\boldsymbol x$Ax的计算结果可以看成是矩阵$A$A各列的线性组合，因此计算出来的结果向量肯定和组成$A$A的各列的向量元素个数相等，属于$\mathbb R^m$Rm），$\boldsymbol T$T的值域为$A$A的列的所有线性组合（从等价的向量方程的角度去看待矩阵方程可以得出这个观点）。
例：
设$A=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix}$A=⎣⎡​13−1​−357​⎦⎤​，$\boldsymbol u=\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}$u=[2−1​]，$\boldsymbol b=\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\-5\end{bmatrix}$b=⎣⎡​32−5​⎦⎤​，$\boldsymbol c=\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\5\end{bmatrix}$c=⎣⎡​325​⎦⎤​，定义变换$\boldsymbol T: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3$T:R2→R3为$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x$T(x)=Ax，于是：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x = \begin{bmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 - 3x_2 \\ 3x_1 + 5x_2 \\ -x_1 + 7x_2\end{bmatrix}$T(x)=Ax=⎣⎡​13−1​−357​⎦⎤​[x1​x2​​]=⎣⎡​x1​−3x2​3x1​+5x2​−x1​+7x2​​⎦⎤​
a. 求$\boldsymbol u$u在变换$\boldsymbol T$T下的像$\boldsymbol T(\boldsymbol x)$T(x)
b. 求$\mathbb R^2$R2中的向量$\boldsymbol x$x，使它在$\boldsymbol T$T下的像是$\boldsymbol b$b
c. 是否有其他向量在$\boldsymbol T$T下的像也是$\boldsymbol b$b？
d. 确定$\boldsymbol c$c是否属于变换$\boldsymbol T$T的值域。
解：
a. 通过计算，可得$\boldsymbol T(\boldsymbol u) = \begin{bmatrix}5 \\ 1 \\ 9\end{bmatrix}$T(u)=⎣⎡​519​⎦⎤​，也就是说，变换$\boldsymbol T$T将$\mathbb R^2$R2中的向量$\boldsymbol u$u变换为了$\mathbb R^3$R3中的另一个向量。如图所示：

b. 本质就是要求解矩阵方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol b$Ax=b，增广行化简得到：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 1.5 \\ 0 & 1 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$⎣⎡​100​010​1.5−0.50​⎦⎤​
易知，向量$\boldsymbol x = \begin{bmatrix}1.5 \\ -0.5\end{bmatrix}$x=[1.5−0.5​]在$\boldsymbol T$T下的像是给定的向量$\boldsymbol b$b。
c. 由上述增广矩阵的形式可以看出，方程的解是唯一的，所以仅有一个$\boldsymbol x$x使它的像是$\boldsymbol b$b。
d. 问题表达的是：对某个$\boldsymbol x$x，$\boldsymbol c = \boldsymbol T(\boldsymbol x)$c=T(x)，也就是说，方程组$A\boldsymbol x = \boldsymbol c$Ax=c是否相容。将对应的增广矩阵进行行化简后得：
$\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -35 \end{bmatrix}$⎣⎡​100​−310​32−35​⎦⎤​
明显的，该方程组不相容，因此$\boldsymbol c$c不属于$\boldsymbol T$T的值域（但根据定义，$\boldsymbol c$c仍属于$\boldsymbol T$T的余定义域，$\boldsymbol T$T的余定义域为$\mathbb R^3$R3）。

下面是矩阵变换的几个例子，可以从图形学的角度感受下矩阵变换的作用：

线性变换

1.4节引入了如下定理：

若$A$A是$m \times n$m×n矩阵，则变换$\boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol x$x→Ax有以下性质：
$A(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = A\boldsymbol u + A\boldsymbol v$A(u+v)=Au+Av
$A(c\boldsymbol u) = cA\boldsymbol u$A(cu)=cAu

参考矩阵的上述性质，引入线性代数中最重要的一类变换：
定义：

变换（或映射）$\boldsymbol T$T称为线性的，若：
a. 对$\boldsymbol T$T的定义域中一切$\boldsymbol u$u，$\boldsymbol v$v，$\boldsymbol T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = \boldsymbol T(\boldsymbol u) + \boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(u+v)=T(u)+T(v)
b. 对$\boldsymbol T$T的定义域中一切$\boldsymbol u$u和数$c$c，$\boldsymbol T(c\boldsymbol u) = c\boldsymbol T(\boldsymbol u)$T(cu)=cT(u)

显然，每个矩阵变换都是线性变换。另一方面，虽然线性变换的概念由矩阵变换引入，但线性变换并不仅仅局限于矩阵变换，只要满足上述定义中的条件的变换都可以称为线性变换。
上述性质(a)说明，先将$\mathbb R^n$Rn中的$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v相加然后再作用以$\boldsymbol T$T的结果$\boldsymbol T(\boldsymbol u + \boldsymbol v)$T(u+v)等于先把$\boldsymbol T$T作用于$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v然后将$\mathbb R^m$Rm中的$\boldsymbol T(\boldsymbol u)$T(u)和$\boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(v)相加。
由上述性质又可以推出如下的性质：

若$\boldsymbol T$T是线性变换，则：
$\boldsymbol T(\boldsymbol 0) = \boldsymbol 0$T(0)=0
且对$\boldsymbol T$T的定义域中一切向量$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v以及数$c$c和$d$d有：
$\boldsymbol T(c\boldsymbol u + d\boldsymbol v) = c\boldsymbol T(\boldsymbol u) + d\boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)

证明如下：

$\boldsymbol T(\boldsymbol 0) = \boldsymbol T(0 \cdot \boldsymbol0) = 0\boldsymbol T(\boldsymbol 0) = \boldsymbol 0$T(0)=T(0⋅0)=0T(0)=0
$\boldsymbol T(c\boldsymbol u + d\boldsymbol v) = \boldsymbol T(c\boldsymbol u) + \boldsymbol T(d\boldsymbol v) = c\boldsymbol T(u) + d\boldsymbol T(v)$T(cu+dv)=T(cu)+T(dv)=cT(u)+dT(v)

并且，对于所有$\boldsymbol u$u，$\boldsymbol v$v和$c$c，$d$d，若一个变换满足$\boldsymbol T(c\boldsymbol u + d\boldsymbol v) = c\boldsymbol T(\boldsymbol u) + d\boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)，它必是线性的（取$c = d =1$c=d=1可得$\boldsymbol T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = \boldsymbol T(\boldsymbol u) + \boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(u+v)=T(u)+T(v)），取$d = 0$d=0可得$\boldsymbol T(c\boldsymbol u) = c\boldsymbol T(\boldsymbol u)$T(cu)=cT(u)
可以推广到大于两个向量的向量集的情况：
$\boldsymbol T(c_1\boldsymbol v_1 + \cdots + c_p\boldsymbol v_p) = c_1\boldsymbol T(\boldsymbol v_1) + \cdots + c_p\boldsymbol T(\boldsymbol v_p)$T(c1​v1​+⋯+cp​vp​)=c1​T(v1​)+⋯+cp​T(vp​)
上式称为叠加原理。设想$\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\cdots,\boldsymbol v_p$v1​,v2​,⋯,vp​为进入某个系统的信号，$\boldsymbol T(\boldsymbol v_1),\boldsymbol T(\boldsymbol v_2),\cdots,\boldsymbol T(\boldsymbol v_p)$T(v1​),T(v2​),⋯,T(vp​)为系统对这些信号的响应。系统满足叠加原理，若某一输入可表示为这些信号的线性组合，则系统的响应是对各个信号的响应的同样的线性组合。
例：

给定实数$r$r，定义$\boldsymbol T: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$T:R2→R2为$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = r\boldsymbol x$T(x)=rx。设$r=3$r=3，证明$\boldsymbol T$T是线性变换。

解：

设$\boldsymbol u$u，$\boldsymbol v$v属于$\mathbb R^2$R2，$c$c,$d$d为数，则有：
$\boldsymbol T(c\boldsymbol u + d\boldsymbol v)=3(c\boldsymbol u + d\boldsymbol v) = 3c\boldsymbol u + 3d \boldsymbol v=c(3\boldsymbol u) + d(3 \boldsymbol v)=c\boldsymbol T(\boldsymbol u) + d\boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(cu+dv)=3(cu+dv)=3cu+3dv=c(3u)+d(3v)=cT(u)+dT(v)
因此，$\boldsymbol T$T是线性变换。

事实上，当$0 \leq r \leq 1$0≤r≤1时，$\boldsymbol T$T称为压缩变换，当$r > 1$r>1时，$
\boldsymbol T$称为拉伸变换。

例：

下图是$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}4 \\ 1\end{bmatrix}$u=[41​]，$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}$u=[23​]，和$\boldsymbol u + \boldsymbol v = \begin{bmatrix}6 \\ 4\end{bmatrix}$u+v=[64​]在$\boldsymbol T = A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$T=A=[01​−10​]下的像：

这里可以从几何意义上分别看到该变换的意义（逆时针旋转90°）以及变换的性质（$\boldsymbol T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = \boldsymbol T(\boldsymbol u) + \boldsymbol T(\boldsymbol v)$T(u+v)=T(u)+T(v)）