如何理解傅立叶级数、傅立叶变换公式？

此前在另外一篇文章尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。

1 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为  的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：

而另外一位数学家：

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2 分解的思路

假设  是周期为  的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于 ？

2.1 常数项

对于  这样的常数函数：

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。

所以，分解里面得有一个常数项。

2.2 通过  进行分解

首先，  是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

其次，它们的微分和积分都很简单。

然后，  是奇函数，即：

从图像上也可以看出，  关于原点对称，是奇函数：

而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：

其中，  表示奇函数。

而  是偶函数，即：

从图像上也可以看出，  关于  轴对称，是偶函数：

同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：

其中，  表示偶函数。

但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：

所以同时需要  。

2.3 保证组合出来周期为 

之前说了，  是周期为  的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为  呢？

比如下面这个函数的周期为  ：

很显然，  的周期也是  ：

 的周期也是  ，虽然最小周期是  ：

很显然，  的周期都是  ：

更一般的，如果  的周期为  ，那么：

这些函数的周期都为  。

将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为  。

2.4 调整振幅

现在我们有一堆周期为  的函数了，比如说 ：

通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如  看起来处处都比目标函数低一些：

把它的振幅增加一倍：

 有的地方超出去了，从周期为  的函数中选择一个，减去一点：

调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

2.5 小结

综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：

这样就符合之前的分析：

• 有常数项

• 奇函数和偶函数可以组合出任意函数

• 周期为 

• 调整振幅，逼近原函数

之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：

3  的另外一种表示方法

直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：  ？

3.1 

看到复数也不要怕，根据之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式，看到类似于  这种就应该想到复平面上的一个夹角为  的向量：

那么当  不再是常数，而是代表时间的变量  的时候：

随着时间  的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来，  秒会旋转一圈，也就是 ：

3.2 通过  表示 

根据欧拉公式，有：

所以，在时间  轴上，把  向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是 ：

代数上用  表示虚部：

在时间  轴上，把  向量的虚部记录下来，得到的就是  ：

如果在时间  轴上，把  的实部（横坐标）记录下来，得到的就是  的曲线：

代数上用  表示实部：

在  的图像中，可以观察到旋转的频率，所以称为频域；而在  中可以看到流逝的时间，所以称为时域：

4 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

假设有这么个函数：

是一个  的函数：

如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：

先看看  ，其中  是常数，很显然这是两个向量之和：

现在让它们动起来，把  变成流逝的时间  ，那么就变成了旋转的向量和：

很显然，如果把虚部记录下来，就得到  ：

4.2 函数向量

前面画了一大堆图，就想说明一个观点，  是向量，并且是旋转的向量。

而根据欧拉公式，有：

从图像上看：

所以  也是向量。

 称为函数向量，并且函数向量的点积是这么定义的：

其中，  是函数向量，  是  的周期。

关于函数向量，关于函数向量的点积，更严格的讨论可以参考无限维的希尔伯特空间。

4.3  是线性组合

虽然比较仓促，让我们先接受  是函数向量，那么它们的线性组合得到的也是函数向量：

根据刚才的点积的定义有：

根据点积的代数和几何意义（关于点积的几何意义可以参考这篇文章）， 说明了，这两个函数向量正交、线性无关，是正交基。

如果写成这样：

可以理解为  在正交基  下的坐标为  。

4.4 如何求正交基的坐标

我们来看个例子，假设：

其中 

通过点积：

可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：

 在基  下的坐标为  ，其中在基  下的坐标可以通过点积这么来算（对于正交基才可以这么做）：

4.5 如何求  基下的坐标

对于：

其中，  是向量，  是正交基，周期  。

所以是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标  上的坐标：

4.6 更一般的

对于我们之前的假设，其中  周期为  ：

可以改写为这样：

也就是说向量  是以下正交基的线性组合：

是的，  也是基。

那么可以得到：

 也可以通过点积来表示，最终我们得到：

其中：

5 傅立叶级数的另外一种表现形式

根据欧拉公式：

我们可以推出：

根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：

其中：

解读一下：

对于复数函数，定义的点积为：

其中，  为复数函数，  是  的共轭，所以  的代数表达式中有一个负号。

顺便说一下，这样定义点积是为了保证：