对傅立叶变换的理解（1）——基底变换

上学期考完DQE，重拾了傅立叶变换，对他有了不同角度的认识。以前对他的认识只停留在定义，性质和套公式做题上。只知道可以用来方便地解微分方程，尤其是在电路中存在电容电感的时候，可以用来判断一个系统的频率响应。

基底变换

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我觉得其中一个最重要的理解是傅立叶变换是一种“change of basis”，变换基底的操作。这里要类比线性代数中的概念，也就是什么是“change of basis”。在线性代数中，如果有$y=Ax，y\in \mathbb{C}^n, A\in \mathbb{C}^{n\times n}, x\in\mathbb{C}^n$y=Ax，y∈Cn,A∈Cn×n,x∈Cn，我们认为向量 $y$y 可以表示为 $A$A 的列向量的线性组合，又$\because y=Iy$∵y=Iy，$I$I 是单位阵，同理 $y$y 可以表示为 $I$I 的列向量的线性组合，所以将 $y$y 表示为 $Ax$Ax 的过程就是将由 $I$I 的列向量组成的基底变成由 $A$A 的列向量组成的基底，从而 $y$y 在相应基底下的坐标（或者说系数）从 $y$y 变成了 $x$x。或者写成 $y = \sum_{i=1}^n \mathbf{e}_i y_i = \sum_{i=1}^n \mathbf{a}_i x_i$y=∑i=1n​ei​yi​=∑i=1n​ai​xi​ ，其中 $\mathbf{e}_i,\mathbf{a}_i$ei​,ai​ 分别为 $I,A$I,A 的列向量。如果 $A^*A = I$A∗A=I，即 $A$A 为酉矩阵，那么 $\mathbf{a}_i^*y = \mathbf{a}_i^* \big(\sum_{i=1}^n \mathbf{a}_i x_i\big) = \mathbf{a}_i^* \mathbf{a}_i x_i = x_i$ai∗​y=ai∗​(∑i=1n​ai​xi​)=ai∗​ai​xi​=xi​，即 $x_i$xi​ 可以通过计算 $y$y 在 $\mathbf{a}_i$ai​ 上的投影得到。

我们再回来看傅立叶变换，如果我们有连续时间信号 $x(t)$x(t)，对其进行傅立叶变换 $\hat{x}(\omega) = \mathscr{F}\big( x(t) \big) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{- i\omega t } dt$x^(ω)=F(x(t))=∫−∞∞​x(t) e−iωtdt ，那么由其逆变换 $x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{x}(\omega)e^{i\omega t} d\omega$x(t)=∫−∞∞​x(τ)δ(t−τ)dτ=2π1​∫−∞∞​x^(ω)eiωtdω，我们把 $x(t)$x(t) 看成一个无穷维的向量 $x(t) = [\dots,x(t_1), x(t_2), \dots]^T$x(t)=[…,x(t1​),x(t2​),…]T，那么 $x(t)$x(t) 既可以由基底函数 $\delta(t-\tau)$δ(t−τ) 来表示，相应系数是 $x(\tau)$x(τ)，也可以由基底函数 $\frac{1}{2\pi}e^{i\omega t}$2π1​eiωt 来表示，系数是 $\hat{x}(\omega)$x^(ω)。如公式 $(1)$(1) ，我把它写成矩阵形式，更好理解。

其中 $\delta(0)=+\infty,\delta(0)\Delta t = 1, \delta(t)=0,t\neq 0$δ(0)=+∞,δ(0)Δt=1,δ(t)=0,t̸​=0 。所以我们经常说的时域和频域的变换其实就是函数基底从 $\delta(t-\tau)$δ(t−τ) 变成了 $e^{i\omega t}$eiωt，从而相应的坐标（或者说系数）从对时间 $\tau$τ 的函数 $x(\tau)$x(τ) 变成对频率 $\omega$ω 的函数 $\hat{x}(\omega)$x^(ω) 。但是它们表示的是同一个函数 $x(t)$x(t) 。由于基函数正交，这个系数可以通过投影到基函数上计算而得，即 $\hat{x}(\omega_k) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{- i\omega_k t } dt$x^(ωk​)=∫−∞∞​x(t) e−iωk​tdt 。

其实关于时域和频域的变换，Heinrich 【1】 的描述很有意思，如果历史随时间的发展可以用函数 $x(t)$x(t) 表示，那么如果知道它的傅立叶变换，我们可以找到任意时刻的函数值，无论是过去，现在还是将来。也许在上帝眼里，世界历史的频谱早已写好，我们只是置身时域经历和构成这个发展变化罢了。下面引用一下这位作者的比喻，顺便安利他的一些关于傅立叶变换的文章【1】【2】，有非常直观详细的图解。

想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。
– Heinrich

到这里，我对 History repeats itself 有了新的理解，毕竟它是周期函数的线性组合啊。眼前已然浮现权力的游戏片头那些齿轮运转的画面……

维基上大圆套小圆的动图 又让我想起了托勒密的地心说，以及他为了地心说用40-60个套在一起的圆去计算所有太阳系行星的运动轨迹。这么看来傅立叶变换在古希腊已经初见端倪。

与微分方程的联系

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在电路原理课我们学过暂态分析之时域和频域分析方法。但是频域比时域分析方法计算简单不易出错很多有木有，在信号与线性系统中我们也常常将问题转化到更加方便的频域求解。那么，为什么转化到频域会更加方便呢？

电路里面的一阶二阶电路，根据物理里面RLC元件的定义和特性，我们知道分析RLC构成的动态电路的暂态过程实际上就是分析由它们构成的微分方程，而由傅立叶变换的性质，时域的微分相当于频域上乘以 $i\omega$iω，时域的时间函数方程，转化成了频域的标量方程。而这个性质的一个重要原因是 $\frac{\partial}{\partial t} e^{i\omega t} = i\omega e^{i\omega t}$∂t∂​eiωt=iωeiωt。指数函数是常系数齐次线性微分方程的一个特征解。类比 $Ax=\lambda x， A=A^T$Ax=λx，A=AT，当我们求解方程 $Ay=b$Ay=b 时，我们可以做基底变换，使用 $A$A 的所有正交特征向量 $x_i$xi​ 作为新的基底来表示 $y, b$y,b， $A\sum_i \alpha_i x_i = \sum_i \alpha_i\lambda_i x_i=b=\sum_i \beta_i x_i$A∑i​αi​xi​=∑i​αi​λi​xi​=b=∑i​βi​xi​，那么我们最终只需要求解方程 $\alpha_i\lambda_i = \beta_i$αi​λi​=βi​。指数函数是微分算子的特征函数，当我们求解微分方程时，做傅立叶变换就相当于是用特征函数——指数函数作为新的基底的基底变换，这样问题就简化了。

参考文献

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【1】知乎：傅里叶分析之掐死教程（完整版），韩 昊(Heinrich)
【2】知乎：如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧（二），韩 昊(Heinrich)