边缘检测(Edge Detection)

边缘提取

在大多数时候图像的边缘可以承载大部分的信息，并且提取边缘可以除去很多干扰信息，提高处理数据的效率

目标

识别图像中的突然变化(不连续)

图像的大部分语义信息和形状信息都可以编码在边缘上
理想:艺术家使用线条勾勒画(但艺术家也使用对象层次的知识)

边缘的种类

表面形状的突变
深度方向的不连续
表面颜色的突变
光线阴影的不连续

边缘的特征

边缘是图像强度函数中快速变化的地方，变化的地方就存在梯度，对灰度值求导，导数为0的点即为边界点

边缘检测(Edge Detection)

卷积的导数

偏导数公式：

∂ f ( x , y ) ∂ x = lim ⁡ ε → 0 f ( x + ε , y ) − f ( x , y ) ε \frac {\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\varepsilon ,y)-f(x,y)}{\varepsilon} ∂x∂f(x,y)=ε→0limεf(x+ε,y)−f(x,y)

在卷积中为描述数据，采取 近似化处理：
∂ f ( x , y ) ∂ x ≈ f ( x + 1 , y ) − f ( x , y ) 1 \frac {\partial f(x,y)}{\partial x} \approx \frac{f(x+1,y)-f(x,y)}{1} ∂x∂f(x,y)≈1f(x+1,y)−f(x,y)

显然在x方向的导数就是与该像素自身与右边相邻像素的差值

卷积描述偏导

使用卷积核处理

边缘检测(Edge Detection)
对灰度图的x和y方向分别处理后的效果如下图：

有限差分滤波器（卷积核）

Roberts 算子
Roberts 算子是一种最简单的算子，是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子。他采用对角线方向相邻两象素之差近似梯度幅值检测边缘。检测垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感，无法抑制噪声的影响。
1963年， Roberts 提出了这种寻找边缘的算子。 Roberts 边缘算子是一个 2x2 的模版，采用的是对角方向相邻的两个像素之差。
Roberts 算子的模板分为水平方向和垂直方向，如下所示，从其模板可以看出， Roberts 算子能较好的增强正负 45 度的图像边缘。

d x = [ − 1 0 0 1 ] dx = \left[ \begin{matrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] dx=[−1001]

d y = [ 0 − 1 1 0 ] dy = \left[ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right] dy=[01−10]

Prewitt算子
Prewitt 算子是一种一阶微分算子的边缘检测，利用像素点上下、左右邻点的灰度差，在边缘处达到极值检测边缘，去掉部分伪边缘，对噪声具有平滑作用。Prewitt算子适合用来识别噪声较多、灰度渐变的图像。
d x = [ 1 0 − 1 1 0 − 1 1 0 − 1 ] dx = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ \end{matrix} \right] dx=⎣⎡111000−1−1−1⎦⎤

d y = [ − 1 − 1 − 1 0 0 0 1 1 1 ] dy = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right] dy=⎣⎡−101−101−101⎦⎤

Sobel算子
Sobel算子是一种用于边缘检测的离散微分算子，它结合了高斯平滑和微分求导。Sobel 算子在 Prewitt 算子的基础上增加了权重的概念，认为相邻点的距离远近对当前像素点的影响是不同的，距离越近的像素点对应当前像素的影响越大，从而实现图像锐化并突出边缘轮廓。

d x = [ 1 0 − 1 2 0 − 2 1 0 − 1 ] dx = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ \end{matrix} \right] dx=⎣⎡121000−1−2−1⎦⎤

d y = [ − 1 − 2 − 1 0 0 0 1 2 1 ] dy = \left[ \begin{matrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ \end{matrix} \right] dy=⎣⎡−101−202−101⎦⎤

图像梯度

∇ f = [ ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ] \nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}] ∇f=[∂x∂f,∂y∂f]

梯度指向强度增长最快的方向

边缘检测(Edge Detection)

梯度的角度
边的方向与梯度方向垂直
θ = t a n − 1 ( ∂ f ∂ y / ∂ f ∂ x ) \theta = tan^{-1} (\frac{\partial f}{\partial y}/\frac{\partial f}{\partial x}) θ=tan−1(∂y∂f/∂x∂f)
梯度的模长（幅值）
可以说明是边缘的可能性大小
∣ ∣ ∇ f ∣ ∣ = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 ||\nabla f|| = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2} ∣∣∇f∣∣=(∂x∂f)2+(∂y∂f)2
处理图像后：

高斯滤波器

当图像的像素存在大量噪点时，相邻的像素差异大，所求梯度也会偏大，无法提取边缘信息。
边缘检测(Edge Detection)
解决方案

平滑处理：使用平滑滤波器去噪，使图像信号变得平滑
再对处理后的信号求导，取极值
根据卷积的计算性质： d d x ( f ∗ g ) = f ∗ d d x g \frac{d}{dx}(f*g) = f * \frac{d}{dx}g dxd(f∗g)=f∗dxdg，先对平滑核求导，再进行卷积相乘来简化运算，减少运算量