概率密度/分布函数

概率函数

概率函数，就是用函数的形式来表达概率。
p i = P ( X = a i ) ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) p_i=P(X=a_i)(i=1,2,3,4,5,6) pi​=P(X=ai​)(i=1,2,3,4,5,6)
在这个函数里，自变量（X）是随机变量的取值，因变量（ p i p_i pi​）是取值的概率。这就叫啥，这叫用数学语言来表示自然现象！它就代表了每个取值的概率，所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。
从公式上来看，概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P（X=1）=1/6,这代表用概率函数的形式来表示，当随机变量取值为1的概率为1/6，一次只能代表一个随机变量的取值。

概率分布

概率分布，就是概率的分布，这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时，关键不在于“概率”两个字，而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词，我们来看一张图。

在很多教材中，这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说，它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”，这个名字虽然比“概率分布”长了点，但是对于我们这些笨学生来说，肯定好理解了很多。因为这个列表，上面是值，下面是这个取值相应取到的概率，而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了！

举个例子吧，一颗6面的骰子，有1，2，3，4，5，6这6个取值，每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“？

长得挺像的，上面是取值，下面是概率，这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧！大错特错！少了一个最重要的条件！对于一颗骰子的取值来说，它列出的不是全部的取值，把6漏掉了!

这么一说你就应该明白概率分布是个什么鬼了吧。

分布函数

说完概率分布，就该说说分布函数了。这个分布函数又是个简化版的东西！我真的很讨厌我们的教材中老是故弄玄虚，卖弄概念！你就老老实实的写成”概率分布函数“，让我们这些笨学生好理解一些不行吗？

看看下图中的分布律！这又是一个不统一叫法的丑恶典型！这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”，完全就是一个东西嘛！但是我知道很多教材就是叫分布律的。

我们来看看图上的公式，其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式，但是其中的等号变成了大于等于号的公式。你再往右看看，这是一个一个的概率函数的累加！发现概率分布函数的秘密了吗？它其实根本不是个新事物，它就是概率函数取值的累加结果！所以它又叫累积概率函数！其实，我觉得叫它累积概率函数还更好理解！！

概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面，它们都只是描述概率的不同手段！

概率密度函数

概率密度函数是概率论中的核心概念之一，用于描述连续型随机变量所服从的概率分布。

从随机事件说起

研究一个随机变量，不只是要看它能取哪些值，更重要的是它取各种值的概率如何！
回忆我们在学习概率论时的经历，随机事件是第一个核心的概念，它定义为可能发生也可能不发生的事件，因此是否发生具有随机性。例如，抛一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，正面朝上或者反面朝上都是随机事件。掷骰子，1到6这6种点数都可能朝上，每种点数朝上，都是随机事件。

整数集与实数集

高中时我们学过集合的概念，并且知道整数集是z，实数集是R。对于有限集，可以统计集合中元素的数量即集合的基数（cardinal number，也称为集合的势cardinality）。对于无限集，元素的个数显然是无穷大，但是，都是无穷大，能不能分个三六九等呢？

回忆微积分中的极限，对于下面的极限：

虽然当x趋向于正无穷的时候，x和exp(x)都是无穷大，但它们是有级别的，在exp(x)面前，x是小巫见老巫。

同样的，对于整数集和实数集，也是有级别大小的。任意两个整数之间，如1与2之间，都密密麻麻的分布着无穷多个实数，而且，只要两个实数不相等，不管它们之间有多靠近，如0.0000001和0.0000002，在它们之间还有无穷多个实数。在数轴上，整数是离散的，而实数则是连续的，密密麻麻的布满整个数轴。因此，实数集的元素个数显然比整数要高一个级别。

随机变量

变量是我们再熟悉不过的概念，它是指一个变化的量，可以取各种不同的值。随机变量可以看做是关联了概率值的变量，即变量取每个值有一定的概率。例如，你买**，最后的中奖金额x就是一个随机变量，它的取值有3种情况，以0.9的概率中0元，0.09的概率中100元，0.01的概率中1000元。变量的取值来自一个集合，可以是有限集，也可以是无限集。对于无限集，可以是离散的，也可以是连续的，前者对应于整数集，后者对应于实数集。

离散型随机变量

随机变量是取值有多种可能并且取每个值都有一个概率的变量。它分为离散型和连续型两种，离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个（整数集是典型的无限可列），连续型随机变量的取值为无限不可列个（实数集是典型的无限不可列）。

连续型随机变量

把分布表推广到无限情况，就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。此时，随机变量取每个具体的值的概率为0，但在落在每一点处的概率是有相对大小的，描述这个概念的，就是概率密度函数。你可以把这个想象成一个实心物体，在每一点处质量为0，但是有密度，即有相对质量大小。



概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数，定积分在数学中是用来求面积的，而在这里，你就把概率表示为面积即可！

左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形，右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像，它们之间的关系就是，概率密度函数是分布函数的导函数。

两张图一对比，你就会发现，如果用右图中的面积来表示概率，利用图形就能很清楚的看出，哪些取值的概率更大！这样看起来是不是特别直观，特别爽！！所以，我们在表示连续型随机变量的概率时，用f(x)概率密度函数来表示，是非常好的！

但是，可能读者会有这样的问题：
Q：概率密度函数在某一点的值有什么意义？
A：比较容易理解的意义，某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.
比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.某一点的速度, 不能以为是某一点的距离，没意义,因为距离是从XX到XX的概念，所以, 概率也需要有个区间.
这个区间可以是x的邻域（可以无限趋近于0）。对x邻域内的f（x）进行积分，可以求得这个邻域的面积，就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

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