三角切分 之 判断点是否在三角形内
三 重心法
三角形的三个点在同一个平面上,如果选中其中一个点,其他两个点不过是相对该点的位移而已,比如选择点A作为起点,那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到,而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。
所以对于平面内任意一点,都可以由如下方程来表示
P = A + u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1
如果系数u或v为负值,那么相当于朝相反的方向移动,即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部,u和v必须满足什么条件呢?有如下三个条件
u >= 0
v >= 0
u + v <= 1
几个边界情况,当u = 0且v = 0时,就是点A,当u = 0,v = 1时,就是点B,而当u = 1, v = 0时,就是点C
整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)
令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A,则v2 = u * v0 + v * v1,现在是一个方程,两个未知数,无法解出u和v,将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式
(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0
(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1
注意到这里u和v是数,而v0,v1和v2是向量,所以可以将点积展开得到下面的式子。
v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0) // 式1
v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1) // 式2
解这个方程得到
u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))
v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))
是时候上代码了,这段代码同样用到上面的Vector3类
// Determine whether point P in triangle ABC bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P) { Vector3 v0 = C - A ; Vector3 v1 = B - A ; Vector3 v2 = P - A ; float dot00 = v0.Dot(v0) ; float dot01 = v0.Dot(v1) ; float dot02 = v0.Dot(v2) ; float dot11 = v1.Dot(v1) ; float dot12 = v1.Dot(v2) ; float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ; float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ; if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly { return false ; } float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ; if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly { return false ; } return u + v <= 1 ; }