圆柱坐标系统中亥姆霍兹方程的解

《微波与光电子学中的电磁理论》读书笔记1

亥姆霍兹方程：

亥姆霍兹方程（英语：Helmholtz equation）是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。其基本形式如下：
其中 ∇是哈密顿算子，k是波数，A是振幅。（来源：百度百科）

为将矢量亥姆霍兹方程化简为标量亥姆霍兹方程，这里采用了波格尼斯位函数法：（或许会在另一篇博客中专门写）
找到两个标量函数U(x),V(x), 使得E3只是U的函数，H3只是V的函数，各场分量与U，V有如下关系（此关系在本推导中未用到）：
U和V满足二阶偏微分方程：

$\nabla$∇²_T为u1，u2的拉普拉斯运算：

在柱坐标系统中，令u3为z，只讨论U的方程，用分离变量法，
代入上面关于U的二阶偏微分方程，除以U，分离变量，得到

圆柱坐标系统中，

因此原式

在这里成为式（1）：


（分离变量）
代入式（1），得：

因此有（v为分离常数，物理意义是角量子数？）：

结合之前的Z的方程：

解以上三个方程即可给出圆柱坐标中亥姆霍兹方程一般解：

NB: 本人并不是光学专业，博文中如有哪部分理解阐释不到位，还希望各位积极斧正，和您的交流也是学习和巩固的过程。