引理

• 变换$T:x=x(u,v),y=y(u,v)$T:x=x(u,v),y=y(u,v)将$uv$uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域$\triangle$△一一映射成$xy$xy平面上的闭区域$D$D
• $x(u,v),y(u,v)$x(u,v),y(u,v)在$\triangle$△内分别具有一阶连续偏导数
• $J(u,v)=\frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}}\ne0,(u,v)\in\triangle$J(u,v)=∂(u,v)∂(x,y)​​=0,(u,v)∈△
• 则，区域D的面积可转化为$\triangle$△上的二重积分：$\mu(D)=\iint\limits_{\triangle}|J(u,v)|dudv$μ(D)=△∬​∣J(u,v)∣dudv

定理21.13(一般的坐标变换)

• $f(x,y)$f(x,y)在有界闭域D上可鸡
• 变换$T:x=x(u,v),y=y(u,v)$T:x=x(u,v),y=y(u,v)将$uv$uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域$\triangle$△一一映射成$xy$xy平面上的闭区域$D$D
• $x(u,v),y(u,v)$x(u,v),y(u,v)在$\triangle$△内分别具有一阶连续偏导数
• $J(u,v)=\frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}}\ne0,(u,v)\in\triangle$J(u,v)=∂(u,v)∂(x,y)​​=0,(u,v)∈△
• $f$f在$xy$xy平面上的二重积分可以转化为$uv$uv平面上的二重积分：$\iint\limits_{\triangle}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{\triangle}f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$△∬​f(x,y)dxdy=△∬​f(x(u,v),y(u,v))∣J(u,v)∣dudv

定理21.14(极坐标计算二重积分)

• $f$f满足21.13的条件
• 在极坐标变换$T$T下，即$T:\begin{cases}x=r\cos \theta\\y=r\sin \theta\end{cases},0\le r<+\infty,0\le\theta\le2\pi$T:{x=rcosθy=rsinθ​,0≤r<+∞,0≤θ≤2π $xy$xy平面上有界闭域D与$r\theta$rθ平面上区域$\triangle$△对应
• 那么，有$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{\triangle}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdrd\theta$D∬​f(x,y)dxdy=△∬​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

极坐标变换的几种情况

1、原点$O\notin D$O∈/​D，且xy平面上射线$\theta=c$θ=c(常数)与D的边界至多交两点

$\triangle$△区域可表示为：$r_1(\theta)\le\theta\le r_2(\theta),\alpha\le\theta\le\beta$r1​(θ)≤θ≤r2​(θ),α≤θ≤β
$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr$D∬​f(x,y)dxdy=∫αβ​dθ∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr

2、xy平面上的圆r=c(常数)与D的边界至多交于两点

$\triangle$△区域可表示为：$\theta_1(r)\le\theta\le\theta_2(r),r_1\le r\le r_2$θ1​(r)≤θ≤θ2​(r),r1​≤r≤r2​
则$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_{r_1}^{r_2}dr\int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rd\theta$D∬​f(x,y)dxdy=∫r1​r2​​dr∫θ1​(r)θ2​(r)​f(rcosθ,rsinθ)rdθ

3、原点为D的内点

D边界的极坐标方程为$r=r(\theta)$r=r(θ),则$\triangle可表示为$△可表示为 $0\le r\le r(\theta),0\le\theta\le 2\pi$0≤r≤r(θ),0≤θ≤2π则有$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rd\theta$D∬​f(x,y)dxdy=∫02π​dθ∫0r(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdθ

4、原点在D的边界

$\triangle$△为$0\le r\le r(\theta),\alpha\le \theta\le\beta$0≤r≤r(θ),α≤θ≤β
$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rd\theta$D∬​f(x,y)dxdy=∫αβ​dθ∫0r(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdθ