场波知识整理——3.1几种介质中的传播规律

首先是时域和频域之间的Maxwell方程的转换:

时域：

$\nabla\times\overline{E}=-\frac{\partial\overline{B}}{\partial{t}}$∇×E=−∂t∂B​

$\nabla\times\overline{H}=\frac{\partial\overline{D}}{\partial{t}}+\overline{J}$∇×H=∂t∂D​+J

$\nabla\cdot\overline{D}=\rho$∇⋅D=ρ

$\nabla\cdot\overline{B}=0$∇⋅B=0

频域:

时域上对t求偏导相当于频域上乘一个($-i\omega$−iω)

$\nabla\times\overline{E}(r)=i\omega\overline{B}(r)$∇×E(r)=iωB(r)

$\nabla\times\overline{H}(r)=-i\omega\overline{D}(r)+\overline{J}(r)$∇×H(r)=−iωD(r)+J(r)

$\nabla\cdot\overline{D}(r)=\rho(r)$∇⋅D(r)=ρ(r)

$\nabla\cdot\overline{B}(r)=0$∇⋅B(r)=0

继续写，代入B与H、E与D之间的关系:

$\overline{D}=\epsilon\overline{E},\overline{B}=\mu\overline{H}$D=ϵE,B=μH

分下面几种情况：

1.无源（$\overline{J}=0$J=0）

$\nabla\times\nabla\times\overline{E}=i\omega\mu_0\nabla\times\overline{H}=\omega^2\mu_0\epsilon_0\overline{E}$∇×∇×E=iωμ0​∇×H=ω2μ0​ϵ0​E

$(\nabla^2+\omega^2\mu_0\epsilon_0)\overline{E}=0$(∇2+ω2μ0​ϵ0​)E=0

$\overline{E}=\hat{x}e^{ikz} \quad k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_0$E=x^eikzk2=ω2μ0​ϵ0​

2.导体

由欧姆定律，有：$\overline{J}=\sigma\overline{E}$J=σE

$\nabla\times\overline{H}=-i\omega\epsilon\overline{E}+\sigma\overline{E}=-i\omega\epsilon(1+i\frac{\sigma}{\omega\epsilon})\overline{E}$∇×H=−iωϵE+σE=−iωϵ(1+iωϵσ​)E

定义$\epsilon_c=\epsilon(1+i\frac{\sigma}{\omega\epsilon})$ϵc​=ϵ(1+iωϵσ​),则有:

$\nabla\times\overline{H}=-i\omega\epsilon_c\overline{E}$∇×H=−iωϵc​E

$k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_c \quad k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon}\sqrt{1+\frac{i\sigma}{\omega\epsilon}}=k_R+ik_I$k2=ω2μ0​ϵc​k=ωμ0​ϵ​1+ωϵiσ​​=kR​+ikI​

频域化时域：

$\overline{E}=Re\{\overline{E}\cdot{e^{-i\omega{t}}}\}$E=Re{E⋅e−iωt}

$=Re\{\hat{x}e^{i(k_R+ik_I)z}e^{-i\omega{t}}\}$=Re{x^ei(kR​+ikI​)ze−iωt}

$=\hat{x}e^{-k_Iz}\cos(k_Rz-\omega{t})$=x^e−kI​zcos(kR​z−ωt)

我们认为当电场的强度变为原来的$\frac{1}{e}$e1​时，就已经完全衰减，定义此距离为趋肤深度$d_p$dp​（Penetration depth）

因此有$e^{-1}=e^{k_Id_p} \quad d_p=\frac{1}{k_I}$e−1=ekI​dp​dp​=kI​1​

（1）电导率低的导体（slightly conducting medium）

$\frac{\sigma}{\omega\epsilon}<<1且\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\neq0$ωϵσ​<<1且ωϵσ​​=0

$k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon}(1+i\frac{\sigma}{2\omega\epsilon}) \quad k_I=\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon}}$k=ωμ0​ϵ​(1+i2ωϵσ​)kI​=2σ​ϵμ0​​​

$d_p=\frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu_0}}$dp​=σ2​μ0​ϵ​​

（2）电导率高的导体（highly conducting medium）

$\frac{\sigma}{\omega\epsilon}>>1$ωϵσ​>>1

$k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon}\cdot\sqrt{i}\cdot\sqrt{\frac{\sigma}{\omega\epsilon}}=\sqrt{\frac{\omega\mu_0\sigma}{2}}(1+i)$k=ωμ0​ϵ​⋅i​⋅ωϵσ​​=2ωμ0​σ​​(1+i)

$k_R=k_I=\sqrt{\frac{\omega\mu_0\sigma}{2}}$kR​=kI​=2ωμ0​σ​​

$d_p=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}$dp​=ωμ0​σ2​​

3.电浆（Plasma Medium）

$\overline{f}=q\overline{E}=m\frac{d\overline{v}}{dt}=-i\omega m\overline{v}$f​=qE=mdtdv​=−iωmv

$\overline{J}=Nq\overline{v}=i\frac{Nq^2}{\omega m}\overline{E}$J=Nqv=iωmNq2​E

$\omega_p=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}$ωp​=mϵ0​Nq2​​

$\nabla\times\overline{H}=-i\omega\epsilon_0\overline{E}+\overline{J}=-i\omega\epsilon_0(1-\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2})$∇×H=−iωϵ0​E+J=−iωϵ0​(1−ω2ωp​2​)

定义$\epsilon_p=\epsilon_0(1-\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2})$ϵp​=ϵ0​(1−ω2ωp​2​)，则有$k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_p$k2=ω2μ0​ϵp​

（1）$\omega\geq\omega_p \quad k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\sqrt{1-\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2}}=k_R$ω≥ωp​k=ωμ0​ϵ0​​1−ω2ωp​2​​=kR​

（2）$\omega\leq\omega_p \quad k=i\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\sqrt{\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2}-1}=k_I$ω≤ωp​k=iωμ0​ϵ0​​ω2ωp​2​−1​=kI​

$\overline{E}=\hat{x}e^{ikz}=\hat{x}e^{-k_Iz}$E=x^eikz=x^e−kI​z

$\overline{H}=\hat{y}\frac{1}{i\omega\mu_0}(-k_I)e^{-k_Iz}$H=y^​iωμ0​1​(−kI​)e−kI​z

$\overline{S}=\overline{E}\times\overline{H}^*=\hat{z}i\frac{k_I}{\omega\mu_0}e^{-k_Iz}$S=E×H∗=z^iωμ0​kI​​e−kI​z

$<\overline{S}>=\frac{1}{2}Re\{\overline{S}\}=0$<S>=21​Re{S}=0

这种波我们称为倏逝波

4.洛伦兹介质（Lorentz medium）

$q\overline{E}=\overline{f}=m(\frac{d^2\overline{r}}{dt^2}+\gamma\frac{d\overline{r}}{dt}+\omega_0^2\overline{r}),\gamma$qE=f​=m(dt2d2r​+γdtdr​+ω02​r),γ为碰撞频率

与电浆的推导进行对比，可以得出：

$\overline{J}=Nq\overline{v}=Nq(-i\omega)\frac{q\overline{E}}{m[(-i\omega)^2+(-i\omega)\gamma+\omega_0^2]}$J=Nqv=Nq(−iω)m[(−iω)2+(−iω)γ+ω02​]qE​

定义$\epsilon_L=\epsilon(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2-\omega_0^2+i\omega\gamma})$ϵL​=ϵ(1−ω2−ω02​+iωγωp2​​)

$k^2=\omega^2\mu\epsilon_L$k2=ω2μϵL​

$\epsilon_L=\epsilon[1-\frac{(\omega^2-\omega_0^2)\omega_p^2}{{(\omega^2-\omega_0^2)}^2+(\omega\gamma)^2}]+i\frac{\omega\gamma\omega_p^2}{{(\omega^2-\omega_0^2)}^2+(\omega\gamma)^2}$ϵL​=ϵ[1−(ω2−ω02​)2+(ωγ)2(ω2−ω02​)ωp2​​]+i(ω2−ω02​)2+(ωγ)2ωγωp2​​

其实部与虚部图像如下：