定义

定义$\pmb{v}$vvv是三维空间$\R^3$R3中的一个任意向量，$\pmb{k}$kkk是一个单位向量，向量$\pmb{v}$vvv绕向量$\pmb{k}$kkk旋转$\theta$θ角度，则表示旋转后向量$\pmb{v}_{rot}$vvvrot​的罗德里格斯公式为：
$v_{rot}=\pmb{v}\cos\theta+(\pmb{k}\times\pmb{v})\sin\theta+\pmb{k}(\pmb{k}\cdot\pmb{v})(1-\cos\theta)$vrot​=vvvcosθ+(kkk×vvv)sinθ+kkk(kkk⋅vvv)(1−cosθ)

公式推导

定义$\pmb{v}$vvv是三维空间$\R^3$R3中的一个任意向量，$\pmb{k}$kkk是一个单位向量，向量$\pmb{v}$vvv绕向量$\pmb{k}$kkk旋转$\theta$θ角度（右手定律，图中逆时针方向）。

使用点乘和叉乘，$\pmb{v}$vvv可被分解为与$\pmb{k}$kkk平行和垂直的分量：

$\pmb{v}=\pmb{v}_{\|}+\pmb{v}_\perp \tag{1}$vvv=vvv∥​+vvv⊥​(1)

其中平行于$\pmb{k}$kkk的分量为：

$\pmb{v}_{\|}=(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k} \tag{2}$vvv∥​=(kkk⋅vvv)kkk(2)

向量$\pmb{v}_{\|}$vvv∥​称为向量$\pmb{v}$vvv在向量$\pmb{k}$kkk上的投影（vector projection），垂直于$\pmb{k}$kkk的分量为：

$\begin{aligned} \pmb{v}_{\perp}&=\pmb{v}-\pmb{v}_{\|} \\ &=\pmb{v}-(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k} \\ &=-\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v}) \end{aligned} \tag{3}$vvv⊥​​=vvv−vvv∥​=vvv−(kkk⋅vvv)kkk=−kkk×(kkk×vvv)​(3)

向量$\pmb{v}_{\perp}$vvv⊥​称为向量$\pmb{v}$vvv在向量$\pmb{k}$kkk上的vector rejection（没有找到合适的翻译）。

公式(3)最后一项的推导：向量$\pmb{k}\times\pmb{v}$kkk×vvv可以看作是向量$\pmb{v}_{\perp}$vvv⊥​绕向量$\pmb{k}$kkk逆时针旋转90°的副本，所以它们大小相等但方向垂直。同样的，向量$\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v})$kkk×(kkk×vvv)是$\pmb{v}_{\perp}$vvv⊥​绕$\pmb{k}$kkk逆时针旋转180°的副本，所以$\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v})$kkk×(kkk×vvv)和$\pmb{v}_{\perp}$vvv⊥​的大小相等但方向相反（因此符号相反）。

扩展：
向量的三重叉积连接了平行分量和垂直分量，对于给定的3个向量$\pmb{a}$aaa，$\pmb{b}$bbb，$\pmb{c}$ccc，有：
$\pmb{a}\times(\pmb{b}\times\pmb{c})=(\pmb{a}\cdot\pmb{c})\pmb{b}-(\pmb{a}\cdot\pmb{b})\pmb{c}$aaa×(bbb×ccc)=(aaa⋅ccc)bbb−(aaa⋅bbb)ccc

由于平行于旋转轴的分量在旋转时不会改变其幅度和方向，因此有：

$\pmb{v}_{\|rot}=\pmb{v}_{\|} \tag{4}$vvv∥rot​=vvv∥​(4)

垂直分量在旋转时会改变方向，但会保持大小不变，有：

$|\pmb{v}_{\perp rot}|=|\pmb{v}_{\perp}| \tag{5}$∣vvv⊥rot​∣=∣vvv⊥​∣(5)

$\pmb{v}_{\perp rot}=\cos \theta \pmb{v}_{\perp}+\sin \theta \pmb{k} \times \pmb{v}_{\perp} \tag{6}$vvv⊥rot​=cosθvvv⊥​+sinθkkk×vvv⊥​(6)

由于$\pmb{k}$kkk和$\pmb{v}_{\|}$vvv∥​是平行的，所以它们的叉积为0，即$\pmb{k}\times\pmb{v}=0$kkk×vvv=0，所以我们有：

$\begin{aligned} \pmb{k}\times\pmb{v}_{\perp}&=\pmb{k}\times(\pmb{v}-\pmb{v}_{\|}) \\ &=\pmb{k}\times\pmb{v}-\pmb{k}\times\pmb{v}_{\|} \\ &=\pmb{k}\times\pmb{v} \end{aligned} \tag{7}$kkk×vvv⊥​​=kkk×(vvv−vvv∥​)=kkk×vvv−kkk×vvv∥​=kkk×vvv​(7)

将(6)式带入(7)式，有：

$\pmb{v}_{\perp rot}=\cos\theta\pmb{v}_{\perp}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \tag{8}$vvv⊥rot​=cosθvvv⊥​+sinθkkk×vvv(8)

说明：
可以通过前面的图片来理解公式(8)。向量$\pmb{v}_{\perp}$vvv⊥​和$\pmb{k}\times\pmb{v}$kkk×vvv具有相同的长度，且$\pmb{k}\times\pmb{v}$kkk×vvv是$\pmb{v}_{\perp}$vvv⊥​绕$\pmb{k}$kkk旋转90°得到的。利用三角函数（正弦、余弦）可得到旋转后向量的垂直分量。旋转分量的形式与笛卡尔基的2D平面极坐标$(r,\theta)$(r,θ)中的径向向量类似：
$\pmb{r}=r\cos\theta\pmb{e}_{x}+r\sin\theta\pmb{e}_{y}$rrr=rcosθeeex​+rsinθeeey​
其中，$\pmb{e}_{x}$eeex​，$\pmb{e}_{y}$eeey​为它们指示方向上的单位向量。

现在，旋转后的向量可完整表示为：

$\pmb{v}_{rot}=\pmb{v}_{\| rot}+\pmb{v}_{\perp rot} \tag{9}$vvvrot​=vvv∥rot​+vvv⊥rot​(9)

将式(4)和(8)和(2)依次带入(9)，有：

$\begin{aligned} \pmb{v}_{rot}&=\pmb{v}_{\|}+\cos\theta\pmb{v}_{\perp}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\pmb{v}_{\|}+\cos\theta(\pmb{v}-\pmb{v}_{\|})+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)\pmb{v}_{\|}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ \end{aligned} \tag{10}$vvvrot​​=vvv∥​+cosθvvv⊥​+sinθkkk×vvv=vvv∥​+cosθ(vvv−vvv∥​)+sinθkkk×vvv=cosθvvv+(1−cosθ)vvv∥​+sinθkkk×vvv=cosθvvv+(1−cosθ)(kkk⋅vvv)kkk+sinθkkk×vvv​(10)

矩阵表示

将$\pmb{v}$vvv和$\pmb{k}\times\pmb{v}$kkk×vvv表示为列矩阵，则叉积可以表示为矩阵的乘积：

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} (\pmb{k}\times\pmb{v})_x \\ (\pmb{k}\times\pmb{v})_y \\ (\pmb{k}\times\pmb{v})_z \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} k_y v_z-k_z v_y \\ k_z v_x-k_x v_z \\ k_x v_y-k_y v_x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{11}$⎣⎡​(kkk×vvv)x​(kkk×vvv)y​(kkk×vvv)z​​⎦⎤​​=⎣⎡​ky​vz​−kz​vy​kz​vx​−kx​vz​kx​vy​−ky​vx​​⎦⎤​=⎣⎡​0kz​−ky​​−kz​0kx​​ky​−kx​0​⎦⎤​⎣⎡​vx​vy​vz​​⎦⎤​​(11)

令$\pmb{K}$KKK表示单位向量$\pmb{k}$kkk的“叉积矩阵”：

$\pmb{K}= \begin{bmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix} \tag{12}$KKK=⎣⎡​0kz​−ky​​−kz​0kx​​ky​−kx​0​⎦⎤​(12)

则对于任意向量$\pmb{v}$vvv，矩阵方程(11)可以表示为：

$\pmb{K}\pmb{v}=\pmb{k}\times\pmb{v} \tag{13}$KKKvvv=kkk×vvv(13)

事实上，K是具有这个性质的唯一矩阵，它的特征值为0和$\pm i$±i。

在等式右侧迭代叉乘等价于在等式左侧迭代左乘叉积矩阵，有（迭代2次的情况）：

$\pmb{K}(\pmb{K}\pmb{v})=\pmb{K}^2\pmb{v}=\pmb{k}(\pmb{k}\times\pmb{v}) \tag{14}$KKK(KKKvvv)=KKK2vvv=kkk(kkk×vvv)(14)

由于$\pmb{k}$kkk是单位向量，所以$\pmb{k}$kkk具有单位的2范数，因此旋转公式(10)可以表示为：

$\begin{aligned} \pmb{v}_{rot}&=\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\pmb{v}-\pmb{v}+\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}-(1-\cos\theta)\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}-(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{k})\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}+(1-\cos\theta)((\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}-(\pmb{k}\cdot\pmb{k})\pmb{v})+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v}))+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}+(\sin\theta)\pmb{K}\pmb{v}+(1-\cos\theta)\pmb{K}^2\pmb{v} \\ &=(\pmb{I}+(\sin\theta)\pmb{K}+(1-\cos\theta)\pmb{K}^2)\pmb{v} \\ &=\pmb{R}\pmb{v} \\ ,\|\pmb{K}\|_2&=1 \end{aligned} \tag{15}$vvvrot​,∥KKK∥2​​=cosθvvv+(1−cosθ)(kkk⋅vvv)kkk+sinθkkk×vvv=vvv−vvv+cosθvvv+(1−cosθ)(kkk⋅vvv)kkk+sinθKKKvvv=vvv−(1−cosθ)vvv+(1−cosθ)(kkk⋅vvv)kkk+sinθKKKvvv=vvv−(1−cosθ)(kkk⋅kkk)vvv+(1−cosθ)(kkk⋅vvv)kkk+sinθKKKvvv=vvv+(1−cosθ)((kkk⋅vvv)kkk−(kkk⋅kkk)vvv)+sinθKKKvvv=vvv+(1−cosθ)(kkk×(kkk×vvv))+sinθKKKvvv=vvv+(sinθ)KKKvvv+(1−cosθ)KKK2vvv=(III+(sinθ)KKK+(1−cosθ)KKK2)vvv=RRRvvv=1​(15)

有：

$\pmb{R}=\pmb{I}+(\sin\theta)\pmb{K}+(1-\cos\theta)\pmb{K}^2 \tag{16}$RRR=III+(sinθ)KKK+(1−cosθ)KKK2(16)

这是一个绕轴$\pmb{k}$kkk逆时针旋转$\theta$θ角度的旋转矩阵，其中$\pmb{I}$III为一个$3\times3$3×3的单位矩阵。

矩阵$\pmb{R}$RRR是实数空间$\R^3$R3中旋转群$SO(3)$SO(3)中的元素，$\pmb{K}$KKK是生成该李群的李代数$so(3)$so(3)中的元素（注意，$\pmb{K}$KKK具有$so(3)$so(3)斜对称的特征）。