证明：标准二元正态分布各向同性

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设标准二元正态分布$(X,Y)$(X,Y)概率密度为：
$p(x,y)=\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{x^2+y^2}{2})$p(x,y)=2π1​exp(−2x2+y2​)
设夹角$\Theta=\arctan(Y/X)$Θ=arctan(Y/X). 现在证明$\Theta\sim U(0,2\pi)$Θ∼U(0,2π)服从均匀分布：
在坐标系$xOy$xOy内的区域$D=\{\theta<\Theta\}$D={θ<Θ}上进行二重积分：
$P(\theta<\Theta)=\oiint_D p(x,y) dxdy=\int_0^\Theta d\theta\int_0^{\infin}p(x(r,\theta),y(r,\theta))rdr$P(θ<Θ)=∬​D​p(x,y)dxdy=∫0Θ​dθ∫0∞​p(x(r,θ),y(r,θ))rdr
以上用到极坐标变换
$\begin{cases} x=r\cos{\theta}\\ y=r\sin{\theta} \end{cases}${x=rcosθy=rsinθ​
于是
$\int_0^{\infin}p(x(r,\theta),y(r,\theta))rdr=\int_0^{\infin}\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{r^2}{2})rdr\\ =\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infin}\exp(-\frac{r^2}{2})d\frac{r^2}{2}=-\frac{1}{2\pi}\exp(-u)|_0^\infin=\frac{1}{2\pi}$∫0∞​p(x(r,θ),y(r,θ))rdr=∫0∞​2π1​exp(−2r2​)rdr=2π1​∫0∞​exp(−2r2​)d2r2​=−2π1​exp(−u)∣0∞​=2π1​
即
$P(\theta<\Theta)=\int_0^\Theta \frac{1}{2\pi}d\theta$P(θ<Θ)=∫0Θ​2π1​dθ
故$\theta$θ的概率密度为
$p(\theta)= \begin{cases} \frac{1}{2\pi}& \theta \in[0,2\pi]\\ 0& otherwise \end{cases}$p(θ)={2π1​0​θ∈[0,2π]otherwise​
即均匀分布.
以上证明用到了多重积分的知识，可在考研数一资料中查到