行列式的计算方法
从计算机算法的复杂度来看
根据逆序数定义,n阶行列式共有n!,每项是n个数的乘法,如果直接按照这个定义计算,那么该算法的时间复杂度是O(nn!)。这是不可接受的一个复杂度。
根据数值分析/矩阵论的相关算法,计算机能在多项式时间内计算给定的n阶数字行列式。
从考试手算的角度来看
不论是代数行列式还是数字行列式,都适用以下规律
1. 二阶行列式: 直接计算秒出结果,计算复杂度O(1)
2. 三阶行列式: 6项,用余子式展开三项合并,计算复杂度O(3), 代数行列式出错率高于数字行列式。在对角化3*3矩阵,需要手算三阶行列式解三次方程,这个计算复杂度比较高。
3.四阶行列式: 几乎只能用降阶和分块矩阵的方法计算,使用分块矩阵计算,在麻烦的是要计算三个2*2矩阵相乘,这个计算复杂度O(3), 因此利用分块矩阵通法计算四阶行列式实际上与三阶差不多
4.五阶以上: 特殊方法,分块。
例子:
特殊形式:不用分块,初等变换,高斯消元。
特殊形式,[A,B,B,A]
只能高斯消元
特殊分块形式