The Expressive Power of Neural Networks: A View from the Width

Lu Z, Pu H, Wang F, et al. The expressive power of neural networks: a view from the width[C]. neural information processing systems, 2017: 6232-6240.

@article{lu2017the,
title={The expressive power of neural networks: a view from the width},
author={Lu, Zhou and Pu, Hongming and Wang, Feicheng and Hu, Zhiqiang and Wang, Liwei},
pages={6232–6240},
year={2017}}

概

Universal approximation theorem-wiki, 这个定理分成俩个部分, 第一个部分是Unbounded Width Case, 这篇文章是Bounded Width Case (ReLu网络).

主要内容

定理1

另外, 定理1中的网络由若干个(视$\epsilon$ϵ而定) blocks排列而成, 每个block具有以下性质:

• depth: 4n+1, width: n+4 的神经网络
• 在一个范围外其“函数值”为0
• 它能够存储样本信息
• 它会加总自身的信息和前面的逼近信息

定理2

定理3

定理4

定理1的证明

因为主要关注定理1, 所以讲下这个部分的证明(实际上是因为其它懒得看了).

假设$x = (x_1, x_2,\ldots, x_n)$x=(x1​,x2​,…,xn​)为输入, $f$f是$L^1$L1可积的, 对于任意的$\epsilon > 0$ϵ>0, 存在$N > 0$N>0满足
$\int_{\cup_{i=1}^n|x_i| \ge N} |f| \mathrm{d}x < \frac{\epsilon}{2}.$∫∪i=1n​∣xi​∣≥N​∣f∣dx<2ϵ​.

定义下列符号:

则我们有:
$\int_{R^n} |f-(f_1 - f_2)| \mathrm{d}x < \frac{\epsilon}{2},$∫Rn​∣f−(f1​−f2​)∣dx<2ϵ​,

对于$i=1, 2$i=1,2, 既然$V_E^i$VEi​是可测的(且测度小于$+\infty$+∞), 则我们能找到有限个$n+1$n+1维的矩体去逼近(原文用了cover, 但是我感觉这里用互不相交的矩体才合理), 并有
$m(V_E^i \Delta \cup_j J_{j,i}) < \frac{\epsilon}{8},$m(VEi​Δ∪j​Jj,i​)<8ϵ​,
不出意外$\Delta$Δ应该就是\.

假设$J_{j,i}$Jj,i​有$n_i$ni​个, 且

每一个$J_{j, i}$Jj,i​对应一个指示函数:
$\phi_{j,i}(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & x \in X_{j,i} \\ 0 & x \not \in X_{j,i}. \end{array} \right.$ϕj,i​(x)={10​x∈Xj,i​x​∈Xj,i​.​
则

这个在实变函数将多重积分, 提到的下方图形集有讲到.
于是我们有($-f_1-f_2+f_1+f_2-f+f$−f1​−f2​+f1​+f2​−f+f然后拆开来就可以得到不等式)

现在我们要做的就是通过神经网络拟合$\varphi_{j,i}$φj,i​去逼近$\phi_{j,i}$ϕj,i​, 使得

现在来讲, 如果构造这个神经网络:

一个block有4n+1层, 每层的width是n+4, 注意到所有层的前n个Node都是一样的用来保存样本信息. 我们用$R_{i, j, \mathscr{B_k}}, i=1, 2, 3, 4, j=1,\ldots,n+4, k=1,\ldots, n,$Ri,j,Bk​​,i=1,2,3,4,j=1,…,n+4,k=1,…,n, 表示第$k$k个Unit(每个Unit有4层)的第$i$i层的第$j$j个Node.



注意: $R_{2, n+3, \mathscr{B_1}}$R2,n+3,B1​​应该是$(x_1-a_1)^+/\delta$(x1​−a1​)+/δ, 最开始的结构图中的对的. 我们来看一下, 什么样的$x=(x_1, \ldots, x_n)$x=(x1​,…,xn​), 会使得$L_1$L1​不为0.

如果$x_1=a_1+\delta(b_1-a_1)+\epsilon$x1​=a1​+δ(b1​−a1​)+ϵ, 这里$\epsilon>0$ϵ>0是一个任意小量, 和上文中的$\epsilon$ϵ没有关系. 此时(当$\delta<1/2$δ<1/2)
$\frac{(x_1-b_1+\delta(b_1-a_1))^+}{\delta}= 0,$δ(x1​−b1​+δ(b1​−a1​))+​=0,
当$\delta$δ足够小的时候
$\frac{(x_1-a_1)^+}{\delta}= 0，$δ(x1​−a1​)+​=0，
此时$L_1=1$L1​=1, 类似地, 可以证明, 当$\delta \rightarrow 0$δ→0的时候, $x_1 \in (a_1+\delta(b_1-a_1),b_1-\delta(b_1-a_1))$x1​∈(a1​+δ(b1​−a1​),b1​−δ(b1​−a1​))时, $L_1=1$L1​=1, 否则为0.

$R_{i, j, \mathscr{B_k}}$Ri,j,Bk​​的定义是类似的, 只是
$L_k = ((L_{k-1}-(x_k-b_k+\delta(a_k-b_k))^+/\delta)^+- (1-(x_k-a_k)^+/\delta)^+)^+,$Lk​=((Lk−1​−(xk​−bk​+δ(ak​−bk​))+/δ)+−(1−(xk​−ak​)+/δ)+)+,
可以证明, 当$\delta\rightarrow 0$δ→0, 且$x_t \in (a_t + \delta(b_t-a_t),b_t-\delta(b_t-a_t)), t=1,2,\ldots, k$xt​∈(at​+δ(bt​−at​),bt​−δ(bt​−at​)),t=1,2,…,k的时候, $L_k=1.$Lk​=1., 这样我们就构造了一个指示函数, 如果这个这函数对应的$i$i为1则将$L_n$Ln​存入n+1 Node, 否则 n+2 Node (实际上, 我感觉应该存的是$b_{n+1,j,i}L_n$bn+1,j,i​Ln​), 则

这里$\mu$μ相当于$L_n$Ln​. 所以多个blocks串联起来后, 我们就得到了一个函数, 且这个函数是我们想要的.


这个直接通过超距体体积计算得来的, 我们只需要取:



最后
令$g:=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{n_i}(-1)^{i+1}b_{n+1,j,i}\mu_{j,i}$g:=∑i=12​∑j=1ni​​(−1)i+1bn+1,j,i​μj,i​，便有

此即定理1的证明.