2018年高考已经结束,从全国卷1理科卷来看,出题中规中矩,覆盖知识点比较全面,难度并不是很大.若平时复习不是打酱油的话,很多基础题是没有问题的.

填空题第16题以三角函数为载体,考查求最值问题,考生可以有不同的切入角度,从而有不同的解题方法,体现出学生思维灵活性的差异,对学生可能有难度,部分学生可能会直接去化简合并,但不会成功;直接求导讨论函数的极值点会成功.

已知函数f(x)=2sinx+sin2x,$f(x)=2\sin x+\sin 2x,$ 则f(x)$f(x)$的最小值是 _ .

01常规求导法

首先说的是常规求导法，即求出函数的导数，令导数为0，求出极值，极值与区间端点处的函数值进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值，当然在具体处理时还有一些细节方面的注意，比如不可导点也应该考虑进来，有时不需要求出极值点，只需求出极值点满足的条件.

显然,f(x)$f(x)$的周期为2π$2\pi$,所以可以在一个周期[0,2π)$[0,2\pi )$内讨论,
f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x−1)$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cos x+2\cos 2x=2\cos x+2(2{\cos }^{2}x-1)$

=2(2cos2x+cosx−1)=2(2cosx−1)(cosx+1)$=2(2{\cos }^{2}x+\cos x-1)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)$

令f′(x)=0,$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0,$得cosx=−1,$\cos x=-1,$或cosx=12.$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

在[0,2π)$[0,2\pi )$内,f(x)$f(x)$的最小值只能在使得
cosx=1,cosx=−1,cosx=12$\cos x=1,\cos x=-1,\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$
的这些点处取到.对应的sinx$\sin x$的值依次是
sinx=0,sinx=0,sinx=±3–√2.$\sin x=0,\sin x=0,\sin x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.$
显然，f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)$f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)$的最小值为
2⋅(−3–√2)⋅(1+12)=−33–√2.$2\cdot (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}.$

02均值不等式法

拿到这个题目，求导法是第一思路，除了这个思路还有其他方法吗？均值不等式也是常用的方法，但这个题目也要先变形一下.

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)$f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)$

=4sinx2cosx2(2cos2x2)=8sinx2cos3x2$=4\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}(2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}})=8\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}{\cos }^3{\displaystyle \frac{x}{2}}$
记a=sinx2,b=cosx2,$a=\sin {\displaystyle \frac{x}{2}},b=\cos {\displaystyle \frac{x}{2}},$
问题转化为求8ab3$8a{b}^3$在a2+b2=1$a^2+b^2=1$条件下的最小值.

1=a2+b2=b23+b23+b23+a2$1=a^2+b^2={\displaystyle \frac{b^2}{3}}+{\displaystyle \frac{b^2}{3}}+{\displaystyle \frac{b^2}{3}}+a^2$

⩾4⋅b23⋅b23⋅b23⋅a2−−−−−−−−−−−−−√4$⩾4\cdot \sqrt[4]{{\displaystyle \frac{b^2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{3}}\cdot a^2}$
∴(b23)3⋅a2⩽(14)4$\therefore {\left({\displaystyle \frac{b^2}{3}}\right)}^3\cdot a^2⩽({\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^4$
a2b6⩽3344,ab3⩾−33–√16,min8ab3=−33–√2$a^2{b}^6⩽{\displaystyle \frac{3^3}{4^4}},a{b}^3⩾-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}},min8a{b}^3=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$
其实得到不等式后，后面的可以不用算，直接看取等号条件是
b2=3a2,∴a2=14,b2=34,$b^2=3a^2,\therefore a^2={\displaystyle \frac{1}{4}},b^2={\displaystyle \frac{3}{4}},$从而
min8ab3=−8⋅12⋅(3–√2)3=−33–√2.$min8a{b}^3=-8\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{)}^3=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}.$

03琴生不等式法

如果知道琴生不等式，用它来做本题，也是不错的，但是似乎有点超纲了，不过幸亏不是解答题啦.

已知函数f(x)$f(x)$为奇函数,周期为2π,$2\pi ,$
根据函数y=2sinx$y=2\sin x$和y=sin2x$y=\sin 2x$图像，只需考虑函数f(x)$f(x)$在[0,π2]$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$上的最大值.最大值的相反数就是所求最小值.

函数sinx$\sin x$在[0,π2]$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$上是上凸函数，根据琴生不等式可得

f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π−2x)$f(x)=2\sin x+\sin 2x=\sin x+\sin x+\sin (\pi -2x)$

⩽3sinx+x+(π−2x)3=33–√2,$⩽3\sin {\displaystyle \frac{x+x+(\pi -2x)}{3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},$
取等号条件为x=π−2x,$x=\pi -2x,$即x=π3.$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}.$
∴minf(x)=−33–√2.$\therefore minf(x)=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}.$

顺便再啰嗦几句，介绍一下上凸函数和琴生不等式.

上凸函数的概念：

如果函数f(x)$f(x)$满足对定义域上任意两个数x1,x2$x_1,x_2$都有

f(x1+x22)⩾f(x1)+f(x2)2$f\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\right)⩾{\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$

那么f(x)$f(x)$为上凸函数，函数图像开口向下.

琴生不等式：

如果函数f(x)$f(x)$是区间上的上凸函数，则对任意的x1,x2,⋯,xn$x_1,x_2,\cdots ,x_n$
f(x1+x2+⋯+xnn)⩾f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n$f\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}\right)⩾{\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}}$

等号当且仅当x1=x2=⋯=xn$x_1=x_2=\cdots =x_n$时取得.

04几何图形法

几何图形法是我突然想到的，用来做填空题也是比较迅速的，请看.

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)$f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)$

记a=sinx,b=1+cosx,$a=\sin x,b=1+\cos x,$
问题转化为求2ab$2ab$在a2+(b−1)2=1$a^2+(b-1{)}^2=1$条件下的最小值.

如图所示，显然符合要求的点(a,b)$(a,b)$在第二象限，设为A$A$，
AD⊥x$AD\perp x$轴，AE⊥y$AE\perp y$轴，B$B$为A$A$点关于y$y$轴的对称点，
则|ab|$|ab|$为四边形ADOE$ADOE$的面积，也为三角形AOB$AOB$的面积，
根据圆的内接三角形中等边三角形面积最大，
得|ab|$|ab|$的最大值为33–√4,${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}},$
从而2ab$2ab$的最小值为−2⋅33–√4=−33–√2,$-2\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},$

我的讲解结束了，你用的是那种方法呢？请告诉我。转载是一种动力 分享是一种美德。