机器人系统数学建模（现代控制理论1）
这是现代控制理论番外篇的第一篇：主要围绕机器人系统的状态空间模型展开介绍。
建立机器人系统的数学模型是使用计算机控制机器人的第一步。主要分为如下五个部分：
为了使内容尽可能形象，这里不介绍具体推导过程，以定性描述为主，计算和仿真等全部交给matlab和ROS。
课本中大量的示例围绕电路系统的状态空间模型，各种标准型，传递函数等，如何从这些知识平滑过渡到机器人系统建模呢？？？
看上图最简单的两个公式。类比一下，电压，电流和电阻，对应力，加速度和质量；那么电路中的电容和电感等，也可以近似对应到机器人系统的弹性结构和阻尼结构。这样的知识迁移能力对于快速掌握一门实用课程非常重要！！！
- 运动学：不考虑机器人的惯性
- 动力学：复杂但是模型精确
关于这部分内容可以详细参考：
地面清扫机器人已经走入千家万户，这类机器人模型十分典型，如右图所示，外观酷炫的机器人，秒变符号图示。
这些符号对于实际机器人系统具体的质量，*半径，轴间距等各种参数。当我们建立好系统的状态空间模型后，如果不将机器人放在这些数学符号旁，也许你不知道，它代表一个机器人，但是如果掌握现代控制理论，你将拥有这一特异功能。看下图：
我们都知道两轮的扫地机器人可以前进，后退，左转和右转，但是不能侧向平移，为啥，如何更专业的描述这一特性，其数学模型给出了非常明确的答案！无论左轮和右轮如何旋转，都是等于0的啊！
机器人建立准确的数学模型，对于理解，分析和控制此系统有着非常重要的作用。
这类扫地机器人的模型有个标准的名字：两轮差动驱动机器人，依据机器人简化模型示例可以写出机器人的运动学模型，左右轮速度与机器人位姿变化的关系，这个模型对于控制机器人非常重要，但是不便于我们去思考和理解，于是有了下面的模型：
通常理解机器人可以前后和旋转，分别对应线速度和角速度，与左右轮控制的变化关系也如图所示。其实这个模型在仿真中如下图所示：
如同一个拖车，后面的球体类似负载，如果使负载垂直于地面那机器人模型会发生变化吗？？？
分别说明：两轮差动+倒立摆？？？这个该如何是好？？如何描述此系统，怎么建立其数学模型呢？？莫慌！
先硬着头皮干，这里除了机器人位姿之外，还有摆杆与垂直方向夹角等，列出一串恐怖的状态方程。然后再线性化：
得到一个熟悉的A和熟悉的B，但是这样系统不可控，依据A和B算出，具体内容在能控性讲解。问题出在哪里？？？
- 机器人系统既要地面运动，又要保持摆垂直，运动受到约束
- 需要关注于摆而非空间位移的变化
一定要注意状态空间模型建立过程中，状态变量的选取！！！
矩阵抽象不便于理解，控制效果也不能直观呈现，怎么办？引入三维仿真，逼真度高，效果好！
很酷炫是不是，昏昏欲睡的你是不是顿时又有了学习的欲望呢？如果将真实模型建模到仿真环境中，可以用于控制算法测试，模型优化，提高效率，就像下面这样，也是我们一直使用的案例：
注意：仿真的总体目标是以最小的时间成本在某种程度上重现现实，这种近似应成为设计机器人或评估现有机器人性能的具体目标。数字模型是现实的抽象。无需在Gazebo模型中复制物理机器人的每个细节。如果尝试这样做，那么所需的工作量将非常大，以至于仿真的好处将无法弥补这种努力。相反，要做的就是复制这些特征用于验证机器人，应该先定义具体目标，然后建立最简单的模型，使我们能够遵守这些目标。
平衡车通常载人，假定人高1.8m，质量60kg，那么直接简化成一个高0.9米的连杆，球体重量为60kg。这样就能实现对真实系统功能复现。将其所有细节考虑全面，得到了如下机器人数学模型，这是后续将持续介绍的。
仿真具体介绍链接：