学习 Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion
Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion
Author : 林田
摘要:
- 首先提出了 ** manifold optimization-based HBF ** algorithm is first proposed, which is directly handled the constant modulus constrains of the analog component and proved its convergence.
- For narrowband scenario, propose a low-complexity general eigenvalue decomposition-based HBF algorithm
- For broadband scenario, propose three algorithms via the eigenvalue decomposition and orthogonal matching pursuit (正交匹配追踪)
Contributions
- aiming at minimizing the modified MSE .
在宽带场景下,挑战是 数字预编码 should be optimized for == different subcarriers == while the ** analog one ** is == invariant== for the whole frequency band. (数字需要根据不同的子载波设计,而模拟在整个频带中是保持不变的)。
- 分解原始的 sum-MSE 最小化问题为 传输混合预编码 和接受合并设计两个子问题,分析发现两个子问题可以统一为几乎相同的表达式。
- 首先针对模拟预编码的常量模约束,采用MO方法。 不同于论文[18] X. Yu, J.-C. Shen, J. Zhang, and K. B. Letaief, “Alternating minimization algorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems,”中采用的MO方法最小化混合预编码与全数字预编码之间的Euclidean 距离,本文采用MO直接最小化 sum-MSE。并且推出了更加复杂的Euclidean 共轭梯度。
- 为了降低MO算法的复杂度,提出了几个低复杂度的算法,在窄带场景,展现了模拟波束成形可以以 列到列的优化方式采用GEVD(general eigen-decomposition) 方法求解。
- 在宽带场景下,求出了原始目标函数的上界与下界,提出了两种基于eigen-decomposition (EVD)的算法。
场景建模
端到端的窄带毫米波MIMO场景:
通过Nt个发送天线以及Nr个接收天线对Ns个数据流进行传输。Ns X 1 的数据流首先经过基带数字预编码然后通过模拟预编码VRF。
problem Formulation
本文采用最小化MSE作为优化目标:
这个MSE也被称为 ** modified MSE** ,其中为标量因子,与混合预编码一起优化,物理意义上是将接收到的信号放大/缩小一定的幅度, 使之更接近于原始信号。。 那么为什么要引入这个因子呢?
- 第一, 在传统的MIMO波束成形研究中, 在设计预编码矩阵的时候, 如果以原始的MSE(无)为目标, 会发现预编码矩阵的设计与噪声能量无关! 这其实不符合MSE的初衷。 而如果引入ββ, 预编码矩阵的解就与噪声能量相关, 也因此可以达到更合理的性能。
- 第二, 从数学意义上而言, 混合波束成形问题中,需要求解四个矩阵,愈发复杂。 而以传统MSE为目标求解的时候, 考虑发送的功率约束, 需要引入拉格朗日乘子, 这个乘子非常难求,且影响后续对其他矩阵的设计。 而引入后, 后面的推导会证明大大简化了数学求解难度。
- 第三, 引入后, 可以使得 固定接收端解发送端 和 固定发送端解接收端 两个子问题可以化为完全一致的形式, 也就可以用同样的算法来求解了。
- (以上分析转载于作者,链接:
https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/108208409).
在研究点到点的传输系统中,接收端也会有波束赋形的操作,因此scaling也可以视为在接收端完成。通过调整这个参数以获得更好的结果,同时能调整总传输能量约束。
求解MSE:
可以发现在噪声项中也有参数。
同时模拟预编码端需要满足 每一个元素都要为连续模约束:
问题求解
原式中存在五个变量,因此考虑分解为两个子问题。
混合传输设计
首先考虑优化混合预编码以及参数。原始可以分解为,其中是一个没有归一化的基带预编码。固定了W后,可以得到等效信道 。
- 优化算法首先固定找到最优的数字预编码,以及,然后更新目标函数为,最终进一步通过最小化目标函数以及连续模约束优化。
可以发现第一个约束的等号一定成立,因此可以计算处
利用KKT条件,即将带入到目标函数中求导即可计算的封闭式解。带回原式推导得到基于的MSE表达式
流行算法
求导过程
MO方法:为了能够处理连续模约束,Mo方法可以用于获得局部最优.。
流行优化也叫黎曼优化。
- 本质上是一种梯度下降法, 然而基本的梯度下降法是在整个欧式空间中进行下降, 因此无法保证下降后的解仍满足 恒模约束, 所以无法直接用于求解 。
- 而流形优化, 则是首先将满足恒模约束的所有可行解表示为一个流形, 其后每步迭代后都将解映射回这个流形之上, 也因此可以确保结果永远满足恒模约束。
- 最重要的是, 已经有严谨的数学证明了这样的迭代过程是严格收敛的, 因此可以将 流形优化 理解为 在可行集上进行下降的梯度下降法。
- 要想使用流形优化, 你需要求解目标问题的梯度, 然后就可以在这个框架下用下降法求出一个解了。
步骤4详解: - step1: 投影Euclidean梯度到切线空间上以获得Riemannian梯度。
- step2: 在切线空间中沿着Riemannian梯度寻找最优点,采用Armijo-Goldstein确定步长
- 将寻找到的最优点缩回到流型中。
然而这个流形算法是基于梯度运算的,因此会产生很高的计算复杂度。
GEVD 方法
对于大尺度MIMO系统, 不同波束流的最优的模拟预编码彼此之间是相互正交的,因此有 (注意顺序)
所以基于的MSE可以简化为: