【信号与系统】（十五）傅里叶变换与频域分析——非周期信号的频谱--傅里叶变换
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非周期信号的频谱–傅里叶变换
1 频谱密度函数
1.1 引出
- T → ∞ T→∞ T→∞时， f ( t ) f(t) f(t):周期信号 → → →非周期信号;
- 谱线间隔
Ω
=
2
π
/
T
→
0
Ω=2π/T →0
Ω=2π/T→0，谱线幅度
→
0
→0
→0，周期信号的
离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。
注意：虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间仍有相对大小差别。故引入频谱密度函数（相当于用显微镜看细菌）。
1.2 频谱密度函数
频
率
=
1
T
频率=\frac{1}{T}
频率=T1
F
(
j
ω
)
F( jω)
F(jω)称为频谱密度函数，简称频谱密度或频谱。单位频率上的频谱。
2 傅里叶变换
2.1 傅里叶变换
F ( j ω ) F( jω) F(jω) 称为 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换。
F
(
j
ω
)
F( jω)
F(jω)一般是复函数，写为
这里的频谱密度与 ω \omega ω的关系，周期信号的是实际频谱与 Ω \Omega Ω的关系。
2.2 傅里叶反变换
2.3 傅里叶变换对
2.4 说明
(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:
(2)用下列关系还可方便计算一些积分
3 常用函数的傅里叶变换
3.1 单边指数函数
3.2 双边指数函数
3.3 门函数(矩形脉冲)
3.4 冲激函数 δ ( t ) 、 δ ´ ( t ) 、 δ ( n ) ( t ) δ(t)、δ´(t)、 δ^{(n)}(t) δ(t)、δ´(t)、δ(n)(t)
3.5 常数 1
有些函数(如1，
ε
(
t
)
ε(t)
ε(t) 等)不满足绝对可积这一充分条件，直接用定义式不易求解。可构造一函数序列{
f
n
(
t
)
fn(t)
fn(t)}逼近
f
(
t
)
f (t)
f(t) ，即
而
f
n
(
t
)
f_n(t)
fn(t)满足绝对可积条件，并且{
f
n
(
t
)
f_n(t)
fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{
F
n
(
j
ω
)
F_n(jω)
Fn(jω)}是极限收敛的。则
f
(
t
)
f(t)
f(t)的傅里叶变换
F
(
j
ω
)
F(jω)
F(jω)为
这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。
e
−
α
∣
t
∣
，
α
e^{-\alpha|t|}，\alpha
e−α∣t∣，α趋于无穷，其值为1。
F ( j w ) F(jw) F(jw)在 ω = 0 \omega=0 ω=0时是无穷大， ω ≠ 0 \omega\not=0 ω=0时是0，故 F ( j w ) F(jw) F(jw)是一个冲激函数，通过求 [ − ∞ ， ∞ ] [-\infty，\infty] [−∞，∞]的积分可以求得其面积，为 2 π 2\pi 2π，而 δ ( ω ) \delta(\omega) δ(ω)面积为1，故 F ( j ω ) = 2 π δ ( w ) F(j\omega)=2\pi\delta(w) F(jω)=2πδ(w)。
另一种求法：
δ
(
ω
)
δ(ω)
δ(ω) 代入反变换定义式，有
3.6 符号函数
3.7 阶跃函数 ε ( t ) ε(t) ε(t)
3.8 归纳总结
《工程信号与系统》作者：郭宝龙等