模拟滤波器到数字滤波器的映射方法
将已经设计好的模拟滤波器,通过一组映射关系变换为数字滤波器.对于这样一个映射来说,必须确保
- 映射前后频率对应
- 因果稳定的系统在映射后仍为因果稳定系统
以下是具体方法:
冲激响应不变法
从时域角度出发,使滤波器得单位冲激响应逼近模拟滤波器的单位冲激响应.为了实现这一目的,我们可以对模拟滤波器的冲激响应h(t)进行采样,得到的离散序列即为滤波器的单位冲激响应.
h(nT)=ha(t)∣t=nT
系统函数
根据时域推出s域的变换过程,设模拟滤波器的系统函数有N个一阶极点si,那么其系统函数就可写为
Ha(s)=k=1∑Ns−skAk
变换到时域后,抽样所得离散序列为
h(n)=ha(nT)=k=1∑NAkesknTu(n)
等式取z变换求得原模拟滤波器所映射的数字滤波的系统函数
H(z)=k=1∑N1−eskTz−1Ak
这样看似完成了模拟滤波器的映射,但实际上我们需要注意到一点,或者说我们在设计的时候没有考虑到一点:抽样是否等价.这既是冲激响应不变法的核心,也是所来诸多问题的元凶.
借助于抽样信号频谱与原信号频谱之间关系
H(ejω)=T1k=−∞∑∞Ha(jTω−2kπ)
可以看出,抽样信号实际是原信号频谱的周期延拓且加权,所以在实际设计中,令h(n)=Tha(nT)来消除这一误差
缺点
仍然是由于冲激响应不变法的核心:抽样定理所带来的问题
-
混叠失真
我们知道,抽样定理仅适用于带限信号.而实际中,由于频域有限时域无限,这就导致不存在真正意义上的带限信号,通常在频域都是无限的.
而从抽样定理中我们又知道,要想无失真的抽取信号,存在一个抽样频率的最小值.所以对于这样无限长频谱来说,使用给定抽样频率必然导致频谱混叠.
需要说明的一点,这里增大抽样频率并不能改善混叠失真的情况.如果增大抽样频率,那么抽样周期T减小,而根据频率见映射关系Ω=ωT可知,T的改变将影响模拟滤波器的参数,而在映射前,这两个滤波器的参数就已经被固定了.
要想改善混叠失真现象,只能增大阻带衰减.只要衰减足够大,加叠多少分量都行.
-
高通不可实现
在上面提到过,抽样定理只能用于带限信号.对于像高通滤波器这样,通带为[ωp,∞],自然是不可实现.除了高通之外,还有带阻滤波器不可实现
频率映射关系
s平面到z平面的映射关系为
z=esT
所以有
ρejω=eσTejΩT
从模拟频率到数字频率之间的关系为线性
ω=ΩT
我们也可在映射关系这一角度上来说明混叠现象:
记s=σ+jΩ
当σ=0,Ω∈(−π,π)时,s将映射到z域单位圆上
当σ=0,Ω∈(π,3π)时,s仍映射到单位圆上
其实在这一映射关系下,s与z并不是一一对应的关系,而是多个s对应一个z,而滤波器的系统函数很显然在s域上并不是一个周期函数,所以这一映射必然不能完整的反应出原滤波器的特性.
转换等价性验证
双线性变换法
从频域角度出发,使得数字滤波器的频率响应逼近模拟滤波器的频率响应.
系统函数
从频域出发,找一个合适的映射关系,将s域映射到z域,从而实现数字滤波器的逼近设计
.在前文中提到过s到z映射的多值对应关系,因此解决这一问题,建立单值映射,从而避免频率响应的混叠失真.实现这一目的可以将原s域映射到Ω∈(−Tπ,Tπ)的平面s1上,再从s1平面建立单只映射到z域
实现s域压缩采用如下变换
Ω=tan(2Ω1T)
这样当Ω→±∞时,有Ω1→±π,就可以实现压缩.将上式变形为
jΩ=cos(2Ω1T)sin(2Ω1T)=ej2Ω1T+e−j2Ω1Tej2Ω1T−e−j2Ω1T
则有
s=th[2s1T]=1+e−s1T1−e−s1T
令z=es1T将s1映射到z,就得到了s域到z域的映射关系
s=1+z−11−z−1z=1−z1+z
为了使AF和DF的某一频率有对应关系,可引入待定常数C.如果要求在零频附近有确切对应关系,则应取C=T2.书上原话,为啥不知道,后面做题都用这个式子,什么鬼东西
s=T21+z−11−z−1
因此所设计的数字滤波器的系统函数为
H(z)=Ha(s)∣s=T21+z−11−z−1
关于双线性变换系统函数的推导还存在另一种简单易懂的方法:
首先引入微分方程到差分方程的转换:
h′(t)=Th(n)−h(n−1)h(t)=2h(n)+h(n−1)
给定AF系统函数,写为联级形式H(s)=∑s−skAk,所以第k个子系统的时域输入-输出关系可知为
y′(t)−sky(t)=Akx(t)
转换为差分方程有
Ty(n)−y(n−1)−sk2y(n)+y(n−1)=Ak2x(n)+x(n−1)
取z变换有
T1[Y(z)−z−1Y(z)]−2sk[Y(z)+z−1Y(z)]=2As[X(z)+z−1X(z)]
可以得到该子系统的系统函数
Hk(Z)=T21+z−11−z−1−skAs
对照s域内系统函数可知
Hk(z)=Hk(s)∣s=T21+z−11−z−1
频率映射关系
s到s1的关系:Ω=T2tan2Ω1T
s1到z关系:Ω1T=ω
所以有
Ω=T2tan(2ω)
由此可见,对于线性的平面映射关系,其频率映射关系却是非线性的.因此,在将DF参数转换为AF参数时,必须考虑这一非线性映射所带来的影响,也就时频率预畸.
缺点
双线性变换的缺陷主要由其非线性的频率映射造成.
频率的非线性映射,可以理解为坐标轴的不等收缩,在某一段内,收缩的快;在某一段内收缩的慢.,所以这样就会带来其函数图像的畸变:幅度响应由线性变为非线性,例如理想微分器的双线性变换.
但是对于分段常数函数,在双线性变换后仍为分段常数函数.虽然非线性映射对区间的收缩程度不同,但是分段常数函数在对应定于区间内值恒定,所以即时收缩,其响应还是直线不变,只不够跳变点坐标发生变化.这就是虽然双线性变换存在对幅频响应的畸变效应,但是仍可以用来设计滤波器的原因.
优点
双线性变换的优点同样也来自于这样非线性映射.
- 由于是单值映射,因此没有混叠产生
后仍为分段常数函数.虽然非线性映射对区间的收缩程度不同,但是分段常数函数在对应定于区间内值恒定,所以即时收缩,其响应还是直线不变,只不够跳变点坐标发生变化.这就是虽然双线性变换存在对幅频响应的畸变效应,但是仍可以用来设计滤波器的原因.
优点
双线性变换的优点同样也来自于这样非线性映射.
- 由于是单值映射,因此没有混叠产生
- 适用性广,不存在冲激响应不变法那样的高通不可实现的特性